Identical Day 题解(思维)

题目连接

题目大意

给你一个长度为\(n(n\leq1e5)\)的\(01\)串

求最少使得多少个\(1\)变为\(0\)后这个串的价值小于\(k(k\le1e10)\)

串的价值为所有连续为\(1\)的串的价值

一段长度为\(len\)连续为\(1\)的价值为\(len*(len+1)/2\)

例如\(0111101\)的价值为\(\frac{4\times5}{2}+\frac{1\times2}{2}=11\)

题目思路

这个题目我一开始想的过于简单了，首先我认为很容易想到优先队列贪心

我用的是每次拿出最长的那一段然后直接中间分隔，用优先队列去维护

但是可以想一下如果一段要分为三段，那么最终我分的比例等于\(1:1:2\)

但是显然是要\(1:1:1\) 即三等分，但是我那样第一步是分为两份肯定不行

然后我就不不会了。。。

其实正解和这个差不了太多，就是差值最大

设\(cal(a,b)\)为一段长度为\(a\)的连续的\(1\),中间人为变了\(b\)个的最小价值

将\((a,b)\)这个放入优先队列，那么优先队列只要比较\(cal(a,b)-cal(a,b+1)\)即可

\(cal(a,b)\)这个函数计算也很简单\(b\)个\(0\),那么分为\(b+1\)段

肯定是要等分每一份为\(x=(a-b)/(b+1)\),而多余了\(y=(a-b)\%(b+1)\)个

那么肯定是给\(y\)份每一个多\(1\)个

• \((b+1-y)\)份长度为$x $
• \(y\)份长度为\(x+1\)

以前写过类似的题目，感觉这种题目就是要往差值方面去考虑，不过这个稍微难一点点

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define debug printf("\n I am here\n");
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
using namespace std;
ll n,k;
char s[maxn];
ll cal(ll a,ll b){
    // 长度为a个1 中间有b个0
    ll x=(a-b)/(b+1);
    ll y=(a-b)%(b+1);
    ll ans=x*(x+1)/2*(b+1-y)+(x+1)*(x+2)/2*y;
    return ans;
}
ll dif(ll a,ll b){
    return cal(a,b)-cal(a,b+1);
}
struct node{
    ll x,y;
    friend bool operator<(node a,node b){
        return dif(a.x,a.y)<dif(b.x,b.y);
    }
};
priority_queue<node> pq;
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    scanf("%s",s+1);
    ll len=0,sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(s[i]=='1'){
            len++;
        }
        if(s[i]=='0'||i==n){
            if(len!=0){
                sum+=len*(len+1)/2;
                pq.push({len,0});
            }
            len=0;
        }
    }
    ll ans=0;
    while(sum>k){
        ans++;
        node temp=pq.top();
        pq.pop();
        sum-=dif(temp.x,temp.y);
        if(temp.x==temp.y+1) continue;
        pq.push({temp.x,temp.y+1});
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}