计算几何之两条线段的交点

1. 概述

可以通过线段的跨立实验[1]判断两条线段是否相交，但是想要进一步求它们的交点还是比较麻烦。[2]给出的方法更加简单，其原理来自求三维空间两条线段的交点[3]。为了更好的理解，本文将详细介绍二维空间两条线段的交点求解过程。

2. 两条线段交点求解过程

给定两条线段$\overline{P_1{P}_2}$和$\overline{P_3{P}_4}$，端点表示为$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$、$P_3(x_3,y_3)$和$P_4(x_4,y_4)$，两条线段对应的向量表示为$\overrightarrow{P_1{P}_2}$和$\overrightarrow{P_3{P}_4}$。假设两条线段的交点为$P_0(x_0,y_0)$，且$t=\frac{|\overline{P_1{P}_0}|}{|\overline{P_1{P}_2}|}$ 、$s=\frac{|\overline{P_3{P}_0}|}{|\overline{P_3{P}_4}|}$，那么 $P_0$ 可以表示为：

$$\{\begin{array}{l}{P}_0=P_1+t\ast \overrightarrow{P_1{P}_2},0\le t\le 1\\ P_0=P_3+s\ast \overrightarrow{P_3{P}_4},0\le s\le 1\end{array}$$

$t$和$s$在等于$0$或$1$时表示两条线段相交在端点，如果为其他值，表示两条线段不相交。将点坐标代入公式得：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+t\ast (x_2-x_1)=x_3+s\ast (x_4-x_3)\\ y_1+t\ast (y_2-y_1)=y_3+s\ast (y_4-y_3)\end{array}$$

利用公式消元法求得$t$和$s$：

$$\begin{array}{r}t=\frac{(x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3)}{(x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3)}\\ s=\frac{(x_3-x_1)(y_2-y_1)-(y_3-y_1)(x_2-x_1)}{(x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3)}\end{array}$$

$t$和$s$方程的分子和分母都是向量的叉乘：

$$\begin{array}{r}t=\frac{\overrightarrow{P_3{P}_1}\ast \overrightarrow{P_4{P}_3}}{\overrightarrow{P_2{P}_1}\ast \overrightarrow{P_4{P}_3}}\\ s=\frac{\overrightarrow{P_3{P}_1}\ast \overrightarrow{P_2{P}_1}}{\overrightarrow{P_2{P}_1}\ast \overrightarrow{P_4{P}_3}}\end{array}$$

如果$\overrightarrow{P_2{P}_1}\ast \overrightarrow{P_4{P}_3}=0$，表示两条线段平行，如果端点在另一条线段上，则该端点为交点，否则不是。如果$t$和$s$有一个没有落在区间$[0,1]$内，则两条线段不相交。那么交点$P_0$的坐标为：

$$\{\begin{array}{l}{x}_0=x_1+t\ast (x_2-x_1)\\ y_0=y_1+t\ast (y_2-y_1)\end{array}$$

或

$$\{\begin{array}{l}{x}_0=x_3+s\ast (x_4-x_3)\\ y_0=y_3+s\ast (y_4-y_3)\end{array}$$

至此，整个求解过程介绍完成，再去看[2]的代码就非常容易理解了。

参考文献

1. How to check if two given line segments intersect?

2. Find the Intersection Point of Two Line Segments

3. Intersections of Lines In Three-Space  - Jon Garvin