ZOJ 3685 ZJU2013年01月月赛J题 Cube

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3685

这道题刚开始想了其他很多思路，包括DP什么都没有头绪。当时还有40多分钟，就想要专心过这题了。

然后就写了复杂度为O(2^n)的程序，算出了前25个之后，发现从第15个开始，答案不是0就是1。

分析一下可以发现，改变正负号不改变结果奇偶性，当1 ~ n中奇数为奇数个时，答案就为奇数，不然就是偶数。

可以计算得到1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2 * (n+1)^2 / 4

如果n>=15时，假如答案不是0就是1这点成立，等价于从1^3 , 2^3 , 3^3 , ... , n^3中选取一些数字，使得和为 n^2 * (n+1)^2 / 8（取整）有解。

 

整数拆分问题！！当然不能用dp的方法做，抱着试试的心理写了裸的dfs，然后就过了。这应该是说明解的数量非常多吧。

n<15的所有情况，都可以暴力枚举算出来，我直接打表写在程序里了。

当然，我现在无法证明，为什么大于14的时候一定会有解，找到的话，会添加到这里。 

代码如下：

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const char ans[20][20]={
"",
"+",
"-+",
"-++",
"-+++",
"-++++",
"-+++-+",
"+---+++",
"+--+--++",
"+--+-+--+",
"-+-+++++++",
"-++-+--++++",
"+--++---+-++",
"--+++++-+++++",
"-++-+--++--+-+"
};
char s[10010];
ll s3[10010];//预处理三次方
bool dfs(ll sum,int n){
    for(int i=n;i>0;i--)if(sum>=s3[i]){
        if(sum - s3[i]==0 || dfs(sum - s3[i],i-1)){
            s[i-1]='+';
            return true;
        }
    }
    return false;
}
void solve(ll n){
    for(int i=0;i<n;i++)s[i]='-';
    ll sum=n*n*(n+1)*(n+1)/8;
    dfs(sum,n);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)putchar(s[i]);
    puts("");
}
int main()
{
    for(ll i=1;i<=10000;i++) s3[i]=i*i*i;
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        if(n<15)puts(ans[n]);
        else solve(n);
    }
    return 0;
}

 

做这场月赛的时候在最后两分钟，调出来过了，绝杀。。爽