http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4483
题目意思：
给定一个n*n的广场，问选取三个整点构成三角形的方案数。
今天做hust的练习赛的时候，碰到了UVALive3295，是求n*m的矩阵上的方案数。不过那题n,m没这题大。然后就讲到这题，就做了一下，还是很神奇的一题。
整体思路：总方案数 - 三点成线方案数。
n*n的矩阵，整点数为(n+1)*(n+1)，以下讨论，直接另n = n+1
总方案数C(n*n, 3)
三点构成的线与坐标轴平行，C(n, 3)*n*2
本题重点就在求三点成斜线的方案数。
我们来这么考虑三个点，让三个点的横坐标依次增大把旁边两个点的连线看做矩形的对角线，中间的点就在对角线上。
易知矩形对角线有两条，我们不妨只计算对角线方向为右的方案数，*2就是总方案数。
长为i，宽为j的矩形，对角线上的整点数为gcd(i, j)-1，在正方形中有(n-i)*(n-j)个
于是，让tmp表示三点成右斜线的方案数，有以下代码
tmp=0; for(int i=2;i<n;i++) for(int j=2;j<n;j++) tmp+=(n-i)*(n-j)*(__gcd(i,j)-1);
这样复杂度为n^2，还不能满足题目要求。不过我们可以在此基础上思考。
我们反过来枚举gcd的值呢？
假设i, j的gcd为k
那么gcd(i/k, j/k)==1，且 i, j<n
令a=i/k, b=j/k
则a,b的pair数 = 1 + 2*(ph(2) + ph(3) + ph(4) + ... + ph((n-1)/k)) ph()为欧拉函数
最前面的1表示 a=1,b=1
其他情况下a==b，a,b是不互质的。
令a<b，枚举a，b的取值就是ph(a)，当然，a, b顺序可以换，所以要最前面要*2
而这么多的a,b计算
sum((n-i)*(n-j)*(__gcd(i, j)-1))
= sum((n - k*a) * (n - k*b) * (k-1))
= (k-1)*sum(n^2 - n*k*(a+b) + k^2*a*b)
n^2的系数就是a,b的pair数
n*k的系数就是这么多对a,b的a+b的总和
k^2的系数就是这么多对a,b的a*b的总和
插播一段数论
对于n>2, 若存在一个m，使得gcd(n,m)==1，则gcd(n, n-m)==1。反证法可证。所以可以理解为和n互素的数总是成对出现，和为n。
所以[1, n]中与n互质的数的总和为ph(n)*n/2
而对于n>2的偶数，gcd(n/2, n)!=1，不用讨论。n==2时，总和为1，恰好也满足这个式子。
于是上面三个系数，都可以通过欧拉函数求出。
本题解决。
代码如下：
1 #include<cstdio> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int N=100005; 5 const ll md=1000000007,md2=md*6; 6 int n,ph[N],sc[N],ss[N],sm[N]; 7 void gph(){ 8 ph[1]=sc[1]=sm[1]=1; 9 ss[1]=2; 10 for(int i=2;i<N;i++)if(!ph[i]) 11 for(int j=i;j<N;j+=i){ 12 if (!ph[j]) ph[j]=j; 13 ph[j]-=ph[j]/i; 14 } 15 for(int i=2;i<N;i++){ 16 sc[i]=(sc[i-1]+(ll)ph[i]*2)%md; 17 ss[i]=(ss[i-1]+(ll)i*ph[i]*3)%md; 18 sm[i]=(sm[i-1]+(ll)i*ph[i]%md*i)%md; 19 } 20 } 21 int main() 22 { 23 gph(); 24 int T; 25 scanf("%d",&T); 26 while(T--){ 27 scanf("%d",&n);n++; 28 ll tmp=(ll)n*n%md,ans; 29 ans=tmp*(tmp-1)%md2*(tmp-2)%md2/6; 30 ans-=tmp*(n-1)%md2*(n-2)*2%md2/6; 31 tmp=0; 32 for(int k=2;k<n;k++){ 33 int m=(n-1)/k; 34 tmp=(tmp+(k-1)*((ll)sc[m]*n%md*n%md - (ll)n*k%md*ss[m]%md + (ll)k*k%md*sm[m]%md))%md; 35 } 36 ans-=tmp*2; 37 printf("%I64d\n",(ans%md+md)%md); 38 } 39 return 0; 40 }
