算法和数据结构 2 二分

二分

关于二分的基本原则

我们首先希望二分算法有这样的性质：当二分范围内有 2 个或以上元素时，他必定会收缩到只剩 1 个元素，而只剩 1 个元素时，二分范围

1. 不再变化，进入不动点
2. 或者变为 0，退出或者进入不动点

然后，我们可能关心二分中点是否被保留下来，也就是说：二分范围 [l..mid..r]，在下一个迭代周期当中

• 是变为 [l..mid] 或 [mid..r]
• 还是变为 [l..mid-1] 或 [mid+1..r]？

又或者能更灵活地视情况而定，选取为

• [l..mid] 或 [mid+1..r]
• 或者 [l..mid-1] 或 [mid..r]？

这四种情况完全由 l, r, mid 的更新方式来决定，下面具体分析

例 1

STL 的迭代器采用的是这样的边界：

对于数组 int a[10]，int l = 0, r = 10

这样的边界选取在二分查找中有怎样的性质呢？

规定

• mid 的更新方式 int mid = (l+r)/2
• 同时规定二分边界这样收紧：l = mid，r = mid

那么我们可以得到以下三条：

1. n >= 1 时恒有 l < r
   • 假设还有 n >= 2 个元素，那么 l + n = r，此时计算 mid:
   \[\begin{aligned} mid &= \lfloor(l+r)/2 \rfloor \\ &= \lfloor (2l + n)/2 \rfloor \\ &= l+ \lfloor n/2 \rfloor \end{aligned}\\ \downarrow\\ \begin{aligned} mid = &\begin{cases} l+(n-1)/2& odd & (n \ge 3) \\ l+n/2 & even & (n \ge 2) \end{cases}\\ = &\begin{cases} r-(n+1)/2& odd & (n \ge 3) \\ r-n/2 & even & (n \ge 2) \end{cases} \end{aligned}\\ \downarrow\\ \]

\[ l+1 \le mid \le r-1 \tag{1} \]

所以当边界更新时
- l = mid，此时 l <= r-1 故还有至少一个元素
- r = mid，此时 l+1 <= r 故至少还有一个元素

• 因此 2 个以上元素都不会越过只剩 1 个元素的情形，收敛到只剩 0 个元素。同时由不等式 \((1)\) 可知 l, r 在 n >= 2 的情形下是严格单调增减的。
  因而必然收敛到 n = 1
n = 1 时：l+1=r，计算 mid 必有:
  \[mid=l \]
  故 l 不会有变化，算法到达不动点，但 r 会缩减到 l，下一次迭代时进入不动点

2. n >= 1 时恒有 mid < r
   由上面的计算显然

3. 恒有 l <= mid
   这个即使 n=0 时也成立

例 2

将上面例子的 r = mid 改为 r = mid+1，这样二分中点 mid 每次都会被保留在下一次迭代的二分范围当中

此时 n=1 时，下一个迭代周期不会退出，而是进入不动点。
但要注意的是 n=2 时，也可能进入不动点