GAN基础

Generative Adversarial Networks

1. GAN框架

       GAN框架是有两个对象（discriminator，generator）的对抗游戏。generator是一个生成器，generator产生来自和训练样本一样的分布的样本。discriminator是一个判别器，判别是真实数据还是generator产生的伪造数据。discriminator使用传统的监督学习技术进行训练，将输入分成两类（真实的或者伪造的）。generator训练的目标就是欺骗判别器。

   游戏中的两个参与对象由两个函数表示，每个都是关于输入和参数的可微分函数。discriminator是一个以 x 作为输入和使用θ^(D) 为参数的函数D，D(x)是指判断输入样本x是真实样本的概率 ；generator由一个以z为输入使用 θ^(G) 为参数的函数G，G(z)是指输入样本z产生一个新的样本，这个新样本希望接近真实样本的分布。

   discriminator与generator都用两个参与对象的参数定义的代价函数。discriminator希望仅控制住θ^(D) 情形下最小化 J^(D)(θ^(D), θ^(G))。generator希望在仅控制θ^(D) 情形下最小化 J^(G)(θ^(D),θ^(G))。因为每个参与对象的代价依赖于其他参与对象的参数，但是每个参与对象不能控制别人的参数，这个场景其实更为接近一个博弈而非优化问题。优化问题的解是一个局部最小，这是参数空间的点其邻居有着不小于它的代价。而对一个博弈的解释一个纳什均衡。在这样的设定下，Nash 均衡是一个元组，( θ^(D), θ^(G)) 既是关于θ^(D)的 J^(D) 的局部最小值和也是关于θ^(G)的 J^(G) 局部最小值。

   图 1 GAN两种场景

   如图 1所示GAN有两种场景，第一种场景（左图），discriminator对象随机从样本集中取一个元素X作为输入，discriminator对象的目标是以真实样本X作为输入时，尽量判断D(x)为1；而第二种场景（右图），具有discriminator和generator两个对象的参与，generator对象以噪声变量z作为输入，然后产生一个样本G(z)，discriminator对象以G(z)作为输入并尽量判断D(G(z) )为0；而generator对象的目标是尽量让discriminator对象计算D(G(z) )为1。最后这个游戏是达到纳什均衡(Nash equilibrium)，即G(z)产生的数据样本分布与真实数据样本分布一样，即对于所有的输入x，D(x) 的计算结果为0.5。

2. ANN函数

   GAN是由一个判别模型（discriminator）和生成模（generator）型组成。其中discriminator和generator可以由任何可微函数来描述，如图 4所示是采用两个多层的神经网络来描述discriminator和generator模型，即图中的G和D函数。

   图 2

    

   generator是一个可微分函数 G。当 z 从某个简单的先验分布中采样出来时，G(z) 产生一个从 p_model 中的样本。一般来说， GAN对于generator神经网络只有很少的限制。如果我们希望 p_model 是 x 空间的支集(support)，我们需要 z 的维度需要至少和 x 的维度一样大，而且 G 必须是可微分的，但是这些其实就是仅有的要求了。

3. 损失函数

4. discriminator的代价

5. 交叉熵^[2]

   交叉熵代价函数（Cross-entropy cost function）是用来衡量人工神经网络（ANN）的预测值与实际值的一种方式。交叉熵损失函数定义如下：

   其中：

• x表示样本
• y表示样本x对应的标签
• a表示以样本x作为输入，模型的输出标签
• n表示样本的总数，当为二分类时n为2

 

1. discriminator优化

   目前为 GANs 设计的所有不同的博弈针对discriminator的 J(D) 使用了同样的代价函数。他们仅仅是generator J(G) 的代价函数不同。

   discriminator的代价函数是：

   其中：    表示在分布上的期望，D(x)为概率函数。

   其实就是标准地训练一个sigmoid 输出的标准二分类器交叉熵代价函数。唯一的不同就是分类器在两个 minibatch 的数据上进行训练；一个来自数据集（其中的标签均是 1），另一个来自生成器（其标签均是 0）。

   通过给discriminator模型定义损失函数后，将优化discriminator模型转移为优化等式，即训练discriminator模型就是为了最小化discriminator的等式。

    

2. Minimax

   GAN框架有两个参与对象discriminator和generator ，上一节只考虑优化discriminator模型，还需要考虑优化generator模型。GAN使用了零和博弈思想为generator模型定义损失函数。在零和博弈游戏中，其所有参与人的代价总是 0，即在游戏中赢的得正数，输的得负数，所以总和为0。在零和博弈中，参加游戏双方的得分互为相反数，所以根据discriminator的损失函数，可推导出generator的损失函数为：

   所以优化generator模型，一样是优化 损失函数，即最小化该损失函数。由于和两个损失函数只是互为相反数，所以可以将两个等式合并为一个优化等式。即

    

    

   由于我们训练D来最大化分配正确标签给不管是来自于训练样例还是G生成的样例的概率.我们同时训练G来最小化。换句话说，D和G的训练是关于值函数V(G,D)的极小化极大的二人博弈问题：

   其中：

• G表示生成模型，D表示分类模型
• x~pdata(x) 表示x取自训练数据的分布
• z~p(z) 表示z取自我们模拟数据的分布

 

图 3

如图 2所示a-b是模型G和D的优化过程，黑色的虚线表示训练数据的分布；绿色的实线表示模型G产生的分布；蓝色的虚线表示模型D的计算值；水平X轴表示D函数的计算值；水平z轴表示噪声值。一开始G的产生分布于真实数据分布偏离较大，且模型D对真实数据和伪造数据区分能力较强，即对真实数据D函数的计算值较大，而对伪造数据D函数的计算值较小，如图a；随着模型的训练，G数据分布于真实数据分布逐渐重合，如图d，最后D的计算值恒等为0.5。

 

1. 训练过程

   训练过程包含同时随机梯度下降 simultaneous SGD。在每一步，会采样两个 minibatch：一个来自数据集的 x 的 minibatch 和一个从隐含变量的模型先验采样的 z 的 minibatch。然后两个梯度步骤同时进行：一个更新 θ^(D) 来降低 J^(D)，另一个更新 θ^(G) 来降低 J^(G)。这两个步骤都可以使用你选择的基于梯度的优化算法。

   生成对抗网络的minibatch随机梯度下降训练。判别器的训练步数，k是一个超参数。在我们的试验中使用k=1，使消耗最小。

   图 4

2. 理论分析

   GAN的设计思想采用discriminator和generator两个模型进行对抗优化，本章用两个证明来从理论上论证了对抗网络的合理性。

3. 命题一：全局最优

   命题：当G固定的时候，D会有唯一的最优解。真实描述如下：

   证明如下：

• 首先，根据连续函数的期望计算方式，对V(G,D)进行变换：

• 对于任意的a,b ∈ R2 \ {0, 0}, 下面的式子在a/(a+b)处达到最优：

所以得证。

1. 命题二：收敛性

   命题：如果G和D有足够的性能，对于算法中的每一步，给定G时，判别器能够达到它的最优，并且通过更新p_g来提高这个判别准则。

   则p_g收敛为p_data。

    

   证明略，看不太懂。

    

2. CycleGAN^[5]

3. 概述

   CycleGAN的原理可以概述为： 将一类图片转换成另一类图片 。也就是说，现在有两个样本空间X和Y，我们希望把X空间中的样本转换成Y空间中的样本。（获取一个数据集的特征，并转化成另一个数据集的特征）.

   图 5

4. 形式化

   CycleGAN模型的学习目标是训练两个映射函数：G：XàY和F：YàX，同时CycleGAN模型还包含了两个相关的discriminator对象：D_x和D_y。D_y是为了区分G函数产生的数据和Y数据；而D_x是为了区分F函数产生的数据和X数据，如图 5(a)所示。

5. 对抗损失函数

   如3.2小节所示介绍的对抗网络，对于一个映射函数G：XàY，和discriminator对象D_Y，则GAN的损失函数定义为：

   其中，映射函数G是将X领域的数据转换为类似Y领域的数据，而D_Y就是判别真实的Y数据和G伪造的Y数据。即GAN的优化目标是：。同样的对于映射F：YàX，和discriminator对象D_X，可以定义一个GAN损失函数的优化目标：.

6. 循环一致损失函数

   理论上GAN能够学习两个映射函数G和F，其能够分别从X或Y一个领域的数据生成到另一个领域的数据。但是由于映射函数变换可能性非常多，无法保证映射函数能够将一个领域的输入数据x_i转换为其它领域的数据y_i。为了减少映射函数的变换范围或可能性，CycleGAN增加了一些约束函数来限制这种变换范围过大的问题。

   如图 5(b)所示，通过映射函数G和F，可以从X领域的数据样本变换为领域Y的数据样本，再变换为X领域的数据样本，从而生成一个环，即：，同理有图 5(c)的。所以原始数据样本x和循环产生的数据F(G(x))之间肯定有差异，那么可以定义一致性损失函数为：

   其中式中的方括号是使用了L1规范化。

7. 完整表达式

   综上所述，CycleGAN的损失函数可以完整表达为：

   其中控制了映射函数G和F的相对重要性。所以CycleGAN的优化目标是：

   其中G和F两个映射函数的内部结构互相彼此独立，即它们能将一个数据样本映射到另一个领域的数据样本。

8. 实现

   CycleGAN网络的实现就是定义四个神经网络：G、F、D_x和D_y；然后优化这个最终的表达式，

    

9. 参考文献

   1. Generative Adversarial Networks(Section 3).
   2. 交叉熵代价函数（作用及公式推导）.
   3. Generative Adversarial Nets（译）
   4. Generative Adversarial Nets论文笔记+代码解析
   5. Unpaired Image-to-Image Translation using Cycle-Consistent Adversarial Networks.
   6.