9.26水题大赏

2022-9-26

T1

扩散

明显可以二分答案，也可以用最小生成树去做。考试时写的最小生成树，每两个点连一条边权为这两个点的曼哈顿距离。每次找最小的距离，$÷2+1$后更新$ans$（因为两个点都会扩散）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 60
#define int long long
using namespace std;
int n,tot=0,ans=0;
int father[MAXN];
int fa(int data)
{
    if(father[data]==data)return data;
    return father[data]=fa(father[data]);
}
struct point
{
    int x,y;
}p[MAXN];
struct edge
{
    int l,r,w;
}ed[3000];
bool cmp(const edge a,const edge b)
{
    return a.w<b.w;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);
        father[i]=i;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            ed[++tot].l=j;
            ed[tot].r=i;
            ed[tot].w=abs(p[i].x-p[j].x)+abs(p[i].y-p[j].y)-1;
        }
    }
    sort(ed+1,ed+tot+1,cmp);
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        if(fa(ed[i].l)==fa(ed[i].r))continue;
        father[fa(ed[i].l)]=father[fa(ed[i].r)];
        ans=max(ans,ed[i].w/2+1);
        cnt++;
        if(cnt==n-1)break;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

T2

树的统计

树链剖分模板题，不多赘述。

T3

佳佳的Fibonacci

问题描述：

佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。在研究完 $Fibonacci$ 数列后，他创造出许多稀奇古怪的数列。例如用$S(n)$表示 $Fibonacci$ 前$n$项和 $mod$ $m$ 的值，即$S(n)=(F1+F2+\dots +Fn)mod$ $m$，其中 $F1=F2=1$，$Fi=Fi-1+Fi-2$。可这对佳佳来说还是小菜一碟。终于，她找到了一个自己解决不了的问题。用$T(n)=(F1+2F2+3F3+\dots +nFn)mod$ $m$ 表示 $Fibonacci$ 数列前$n$项变形后的和 $mod$ $m$ 的值。现在佳佳告诉你了一个$n$和$m$，请求出$T(n)$的值。

输入格式

共一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$。

输出格式

共一行，输出 $T(n)$ 的值。

数据范围

1 ≤ $n$，$m$ ≤ $2^{31}-1$

思路：

看题目已经给出了递推式，数据范围很大，考虑矩阵加速递推。

易得递推式为$T_i=T_{i-1}+i{F}_i$

注意到这个递推式有点特殊，包含$n$与$F_n$的乘积项。如果普通地把$n$和$F_n$放到状态矩阵中，不管怎么设计转移矩阵都不会产生乘积项。因此我们可以把乘积项$n{F}_n$也放入矩阵中。
如何转移 $n{F}_n$ ? 推导思路如下：

$$\begin{array}{rl}(i+1)F_{i+1}& =i{F}_{i+1}+F_{i+1}\\ & =i(F_i+F_{i-1})+F_{i-1}+F_i\\ & =i{F}_i+i{F}_{i-1}+F_{i-1}+F_i\\ & =i{F}_i+(i-1)F_{i-1}+F_{i-1}+F_{i-1}+F_i\\ & =i{F}_i+(i-1)F_{i-1}+2F_{i-1}+F_i\end{array}$$

因此我们需要记录$i{F}_i、(i-1)F_{i-1}、F_{i-1}、F_i$，再加上$T_{i-1}$共$5$个信息。
状态矩阵为

$$\left[\begin{array}{ccccc}{T}_{i-1}& F_i& F_{i-1}& i{F}_i& (i-1)F_{i-1}\end{array}\right]$$

它要转移到

$$\left[\begin{array}{ccccc}{T}_i& F_{i+1}& F_i& (i+1)F_{i+1}& i{F}_i\end{array}\right]$$

可得转移矩阵为

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 2& 0\\ 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

状态矩阵初始化为$\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$，快速幂求$n$次方即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,mod;
struct matrix
{
    int mat[10][10],n,m;
    matrix(int a,int b)
    {
        n=a,m=b;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                mat[i][j]=0;
    }
    void set_i()
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            mat[i][i]=1;
    }
    matrix operator *(matrix b)
    {
        matrix ans(n,b.m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=b.m;j++)
                for(int k=1;k<=m;k++)
                    ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+mat[i][k]*b.mat[k][j]%mod)%mod;
        return ans;
    }
};
matrix qpow(matrix a,int b)
{
    matrix ans(a.n,a.m);
    ans.set_i();
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&mod);
    matrix st(1,5);
    st.mat[1][1]=0;st.mat[1][3]=st.mat[1][5]=0;
    st.mat[1][2]=st.mat[1][4]=1;
    matrix a(5,5);
    a.mat[1][1]=a.mat[2][2]=a.mat[2][3]=a.mat[2][4]=a.mat[3][2]=a.mat[4][1]=a.mat[4][4]=a.mat[4][5]=a.mat[5][4]=1;
    a.mat[3][4]=2;

    st=st*qpow(a,n);
    printf("%lld",st.mat[1][1]%mod);
    return 0;
}

T4

[CQOI2009]中位数

题目描述

给出 $1,2,...,n$ 的一个排列，统计该排列有多少个长度为奇数的连续子序列的中位数是 $b$。中位数是指把所有元素从小到大排列后，位于中间的数。

输入格式

第一行为两个正整数 $n$ 和 $b$，第二行为 $1,2,...,n$ 的排列。

输出格式

输出一个整数，即中位数为 $b$ 的连续子序列个数。

提示

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据中，满足 $n\le 100$；

对于 $60\mathrm{\%}$ 的数据中，满足 $n\le 1000$；

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据中，满足 $n\le 100000,1\le b\le n$。

思路

把数组中比 $b$ 大的数设为 $1$ ，比 $b$ 小的数设为 $-1$ ，这样如果 $b$ 为一段连续子序列的中位数，那么这段子序列除 $b$ 外其他数的和一定为$0$。因此我们先从 $b$ 所在的位置开始往左边扫一遍，在扫的过程中累加元素的值，并开一个 $map$ 存有多少个节点到 $b$ 的和是这个值。再从 $b+1$ 开始从左往右扫，跟第一遍一样累加，每累加一个节点就$ans+=map[-sum]$，最后得到答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,b,pos,a[MAXN],ans=0,sum=0;
map<int,int> mp;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&b);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		if(a[i]==b)pos=i;
		else if(a[i]<b)a[i]=-1;
		else a[i]=1;
	}
	for(int i=pos-1;i>=1;i--)
	{
		sum+=a[i];
		if(sum==0)ans++;
		mp[sum]++;
	}
	sum=0;
	for(int i=pos+1;i<=n;i++)
	{
		sum+=a[i];
		if(sum==0)ans++;
		ans+=mp[0-sum];
	}
	printf("%d",++ans);
    return 0;
}