算法浅谈之树上差分

先放一道例题[USACO15DEC]Max Flow P

题目大意

给你一棵\(n\)个点的树，有\(k\)条管道，每条管道有个起始点和终结点。从起始点到终结点的路径上每个经过的点权值都要\(+1\)

现在问你这\(k\)条管道都处理完后权值最大的点的权值是多少

\(N\le50000\)

\(K\le100000\)

分析

乍一看有一点棘手啊。

如果是条链

我们考虑这棵树是一条链。那么就是一个正常的差分：起始点\(+1\)，终结点后面的点\(-1\)，最后哪一个变量从头加到尾，记录最大值。

其他情况

那就只能用树上差分来做。

树上差分。顾名思义，就是在树上进行差分操作。具体是：起始点和终止点\(+1\)，LCA与LCA的父亲\(-1\)。这样就可以完成树上差分

不会LCA的请看https://www.cnblogs.com/hulean/p/11144059.html

具体为什么的话，画图就很明显了。

dfs

差分处理完后，我们只需要一遍dfs来累加每个点的值，并且维护最大值。

这道题就做完了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int MAXN = 50000 + 5 ;
struct Node {
	int next , to ;
} edge[ MAXN << 1 ] ;
int head[ MAXN ] , cnt ;
int n , k , w[ MAXN ] , ans ;
int deep[ MAXN ] , fa[ MAXN ][ 21 ] ;
inline int read () {
	int tot = 0 , f = 1 ; char c = getchar () ;
	while ( c < '0' || c > '9' ) { if ( c == '-' ) f = -1 ; c = getchar () ; }
	while ( c >= '0' && c <= '9' ) { tot = tot * 10 + c - '0' ; c = getchar () ; }
	return tot * f ;
}
inline void add ( int x , int y ) {
	edge[ ++ cnt ].next = head[ x ] ;
	edge[ cnt ].to = y ;
	head[ x ] = cnt ;
}
inline void dfs ( int u , int father ) {
	fa[ u ][ 0 ] = father ; deep[ u ] = deep[ father ] + 1 ;
	for ( int i = 1 ; i <= 20 ; i ++ )
		fa[ u ][ i ] = fa[ fa[ u ][ i - 1 ] ][ i - 1 ] ;
	for ( int i = head[ u ] ; i ; i = edge[ i ].next ) {
		int v = edge[ i ].to ;
		if ( v == father ) continue ;
		dfs ( v , u ) ;
	}
}
inline int Lca ( int x , int y ) {
	if ( x == y ) return x ;
	if ( deep[ x ] < deep[ y ] ) swap ( x , y ) ;
	for ( int i = 20 ; i >= 0 ; i -- ) {
		if ( deep[ fa[ x ][ i ] ] >= deep[ y ] ) x = fa[ x ][ i ] ;
	}
	if ( x == y ) return x ;
	for ( int i = 20 ; i >= 0 ; i -- ) {
		if ( fa[ x ][ i ] != fa[ y ][ i ] ) x = fa[ x ][ i ] , y = fa[ y ][ i ] ;
	}
	return fa[ x ][ 0 ] ;
}
inline void work ( int u , int father ) {
	for ( int i = head[ u ] ; i ; i = edge[ i ].next ) {
		int v = edge[ i ].to ;
		if ( v == father ) continue ;
		work ( v , u ) ;
		w[ u ] += w[ v ] ;
	}
	ans = max ( ans , w[ u ] ) ;
}
signed main () {
	n = read () ; k = read () ;
	for ( int i = 1 ; i < n ; i ++ ) {
		int x = read () , y = read () ;
		add ( x , y ) ; add ( y , x ) ;
	}
	dfs ( 1 , 0 ) ;
	for ( int i = 1 ; i <= k ; i ++ ) {
		int x = read () , y = read () ;
		w[ x ] ++ ; w[ y ] ++ ;
		int lca = Lca ( x , y ) ;
		w[ lca ] -- ; w[ fa[ lca ][ 0 ] ] -- ;
	}
	work ( 1 , 0 ) ;
	printf ( "%d\n" , ans ) ;
	return 0 ;
}