洛谷 题解 P1041 【传染病控制】
【思路】
题目给出一棵树。第\(i\)步拆的一定是第\(i\)层与第\(i+1\)层之间的连边，否则不是最优（自行证明即可），所以可以暴力枚举每一次拆哪一个节点与上一个节点的连边。
把所有节点所在的层数存下来，一号点在第\(1\)层，枚举每一层的每个节点（由于\(1\)号节点已经被感染，从第二层开始搜索就可以了）
大概可分为以下几步：
-
存好一整棵树
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把每一层的节点都存在一个数组里面
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标记以ii号节点为根节点的子树的节点个数
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标记与回溯
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暴力搜索
【细节精讲】
1、树的存储
关于多叉树的存储，这里介绍一种简单有效的方法。考虑如下代码：
struct Node
{
int father;
int child[MAXN];
}tree[MAXN];
\(tree[i]\)存\(i\)号节点的所有信息：
\(father\)存父亲(在这题没有用) ； \(child[]\)存它所有的孩子 ； \(child[0]\)是它孩子的个数。
由于数据范围很小，我们不用担心造成空间过多的浪费。
结构体构建完成之后，我们就可以在读入的同时把整棵树存好。
n=read();p=read();
for(int i=1;i<=p;i++)
{
int x=read(),y=read();
if(x>y)swap(x,y);
tree[y].father=x;
tree[x].child[++tree[x].child[0]]=y;
}
2 、标记深度
如果能够理解，标记深度是比较简单的。
如图：我们令\(1\)号节点的深度为\(1\) ； 则\(2,3\)节点深度为\(2\) ； \(4,5,6,7\)节点的深度为\(3\)； \(8\)节点的深度为\(4\)。这棵树一共有\(4\)层。
代码用\(deep[i][j]\)存第\(i\)层第\(j\)个节点的编号。\(deep[i][0]\)是第\(i\)层一共的节点数。
inline void getdeep(int now,int Nowdeep)//当前的节点标号是now，层数是Nowdeep
{
maxdeep=max(maxdeep,Nowdeep);//标记一共有几层
for(int i=1;i<=tree[now].child[0];i++)
{
deep[Nowdeep][++deep[Nowdeep][0]]=tree[now].child[i];//把这个节点放到第i层的数组中
getdeep(tree[now].child[i],Nowdeep+1);//以这个点为父节点继续标记它的儿子。每个节点的深度等于它父节点的深度+1
}
}
3、切断问题
我们知道，只要一个点与上层点的传播途径被切断，即这个点不会得传染病，那么以这个点为根节点的整个子树都应该被标记为安全。
这一段代码用来标记\(now\)这个节点为根节点的子树一共有多少节点，存在\(num[]\)中。
inline int getnum(int now)
{
for(int i=1;i<=tree[now].child[0];i++)
num[now]+=getnum(tree[now].child[i]);
return num[now];
}
4、回溯
接下来，我们切断了这个节点，相应地，以这个点为根节点的子树都应该被标记。（\(tag=1\)表示标记，\(tag=0\)表示删去标记，用于回溯）
inline void work(int now,bool tag)
{
vis[now]=tag;
for(int i=1;i<=tree[now].child[0];i++)
{
vis[tree[now].child[i]]=tag;
work(tree[now].child[i],tag);
}
}
5、搜索
做完上面这些铺垫操作之后，我们可以开始整个代码的核心：搜索了。
首先可以想到如下代码
inline void DFS(int now,int cnt)
{
if((now==maxdeep))
{
ans=min(ans,cnt);
return;
}
for(int i=1;i<=deep[now][0];i++)
{
if(vis[deep[now][i]])
continue;
work(deep[now][i],1);
DFS(now+1,cnt-num[deep[now][i]]);
work(deep[now][i],0);
}
}
但是提交这段代码的话只能得80分。为什么呢？
我们可以考虑这样一棵树：
它是一条链。我们第一次只能切断1号节点和2号节点之间的连边，这样第三层所有的节点就都被标记了。那么问题是什么呢？根本就搜不到最后一层的节点，导致答案根本没有更新！
于是我们优化一下搜索代码：
inline void DFS(int now,int cnt)
{
int tot=0;//记录总数
if((now==maxdeep))
{
ans=min(ans,cnt);
return;
}
for(int i=1;i<=deep[now][0];i++)
{
if(vis[deep[now][i]])
{
tot++;
continue;
}
work(deep[now][i],1);
DFS(now+1,cnt-num[deep[now][i]]);
work(deep[now][i],0);
}
if(tot==deep[now][0])//如果全部都被访问过了，那么直接更新答案
ans=min(ans,cnt);
}
【代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=300+10;
int n,p;
struct Node
{
int father;
int child[MAXN];
}tree[MAXN];
int num[MAXN];
int deep[MAXN][MAXN];
int maxdeep=0;
bool vis[MAXN];
int ans=0x3f3f3f3f;
inline int read()
{
int tot=0;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')
{
tot=(tot<<1)+(tot<<3)+c-'0';
c=getchar();
}
return tot;
}
inline void getdeep(int now,int Nowdeep)
{
maxdeep=max(maxdeep,Nowdeep);
for(int i=1;i<=tree[now].child[0];i++)
{
deep[Nowdeep][++deep[Nowdeep][0]]=tree[now].child[i];
getdeep(tree[now].child[i],Nowdeep+1);
}
}
inline int getnum(int now)
{
for(int i=1;i<=tree[now].child[0];i++)
num[now]+=getnum(tree[now].child[i]);
return num[now];
}
inline void work(int now,bool tag)
{
vis[now]=tag;
for(int i=1;i<=tree[now].child[0];i++)
{
vis[tree[now].child[i]]=tag;
work(tree[now].child[i],tag);
}
}
inline void DFS(int now,int cnt)
{
int tot=0;
if((now==maxdeep))
{
ans=min(ans,cnt);
return;
}
for(int i=1;i<=deep[now][0];i++)
{
if(vis[deep[now][i]])
{
tot++;
continue;
}
work(deep[now][i],1);
DFS(now+1,cnt-num[deep[now][i]]);
work(deep[now][i],0);
}
if(tot==deep[now][0])
ans=min(ans,cnt);
}
int main()
{
n=read();p=read();
fill(num+1,num+1+n,1);
for(int i=1;i<=p;i++)
{
int x=read(),y=read();
if(x>y)swap(x,y);
tree[y].father=x;
tree[x].child[++tree[x].child[0]]=y;
}
/*for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=tree[i].child[0];i++)cout<<tree[i].child[j]<<" ";
cout<<endl;
}*/
getdeep(1,2);
/*for(int i=2;i<=maxdeep;i++)
{
for(int j=1;j<=deep[i][0];j++)cout<<deep[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}*/
getnum(1);
DFS(2,n);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
