n个结点，不同形态的二叉树（数目+生成）

题目链接：

　　不同的二叉查找树：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees/

　　不同的二叉查找树 II：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees-ii/

不同形态二叉树的数目：

样例

　　给出n = 3，有5种不同形态的二叉查找树：

　　1           3    3       2      1
　　 \         /    /       / \      \
　　  3      2     1       1   3      2
　　 /      /       \                  \
　　2     1          2                  3

分析

　　 可以分析，当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1; h(0)=0;

       当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点可以分成（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。

      当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。

以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式： 

　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

　　另类递归式：

   　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

　　该递推关系的解为：

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

　　由此想到了上次说的"N个数依次入栈，出栈顺序有多少种？",  同样用的也是卡特兰数。

　　 http://www.cnblogs.com/hujunzheng/p/4845354.html

代码

class Solution {
public:
    /**
     * @paramn n: An integer
     * @return: An integer
     */
    long long C(int n, int m){
        n = n-m+1;
        long long ans = 1;
        for(int i=1; i<=m; ++i){
            ans *= n++;
            ans /= i;
        }
        return ans;
    }
    int numTrees(int n) {
        // write your code here
        return C(2*n, n)/(n+1);
    }
};

 

构建不同形态二叉树：

样例

　　给出n = 3，生成所有5种不同形态的二叉查找树：

　　1         3     3       2    1
　　 \       /     /       / \    \
　　  3     2     1       1   3    2
　　 /     /       \                \
　　2     1         2                3

　　其实通过样例，我们可以发现n个结点构造不同形态二叉树的过程，1,2,3.....n个结点，枚举每一个结点为根结点(假设为root， 1<=root<=n), 那么(1,2..root-1)和(root+1, root+2...n)分别是root的左右子树。每一步不断地重复上述过程，最终会得到所有形态的二叉树。

算法实现

　　先弱弱的说一下自己错误的实现，因为递归实现的时候会得到不同的二叉树，那么如何判断n个结点正好生成了二叉树呢？于是用了一个变量useNode(=0)，表示当前已经用了多少个结点建树。当useNode等于n的时候说明产生了一棵符合要求的树，接着拷贝一下刚才生成的树，然后放入vector中，继续建造下一棵符合条件的二叉树。

错误代码：

/**
 * Definition of TreeNode:
 * class TreeNode {
 * public:
 *     int val;
 *     TreeNode *left, *right;
 *     TreeNode(int val) {
 *         this->val = val;
 *         this->left = this->right = NULL;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
public:
    /**
     * @paramn n: An integer
     * @return: A list of root
     */
    vector<TreeNode *> ans;
    int cntNode=0;//节点的总数
    TreeNode *curRoot = NULL;
    
    void copyT(TreeNode * &tmp, TreeNode *T){
        if(T){
            tmp = new TreeNode(T->val);
            copyT(tmp->left, T->left);
            copyT(tmp->right, T->right);
        }
    }
    
    void buildT(TreeNode * &T, int ld, int rd, int useNode){
        if(ld > rd) return;
        for(int root=ld; root<=rd; ++root){
            T = new TreeNode(root);
            if(ld==1 && rd==cntNode)
                curRoot = T;
            if(useNode+1==cntNode){//这个树已经建立完毕，拷贝一下吧
                TreeNode *tmp = NULL;
                copyT(tmp, curRoot);
                ans.push_back(tmp);
            }
            buildT(T->left, ld, root-1, useNode+1);
            buildT(T->right, root+1, rd, useNode+root-ld+1);
        }
    }
    vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {
        // write your code here
        cntNode = n;
        TreeNode *T = NULL;
        buildT(T, 1, n, 0);
        if(n == 0) ans.push_back(T);
        return ans;
    }
};

　　后来运行之后，看到错误的答案与正确答案的对比，如下：

  当n=4的时候

　　输出

[{1,#,2,#,3,#,4},{1,#,2,#,4,3},{1,#,3,2,4},{1,#,4,2,#,#,3},{1,#,4,3,#,2},{2,1,3,#,#,#,4},{2,1,4,#,#,3},{3,2,4,1},{4,1,#,#,2,#,3},{4,1,#,#,3,2},{4,2,#,1,3},{4,3,#,1,#,#,2},{4,3,#,2,#,1}]

　　期望答案

[{1,#,2,#,3,#,4},{1,#,2,#,4,3},{1,#,3,2,4},{1,#,4,2,#,#,3},{1,#,4,3,#,2},{2,1,3,#,#,#,4},{2,1,4,#,#,3},{3,1,4,#,2},{3,2,4,1},{4,1,#,#,2,#,3},{4,1,#,#,3,2},{4,2,#,1,3},{4,3,#,1,#,#,2},{4,3,#,2,#,1}]

　　也就是少了{3,1,4,#,2}，以3为根结点的二叉树为什么会少了呢？仔细想想，3结点的左孩子可以是1，也可以是2，那么左孩子为1的情况就被忽略了，此时useNode并不等于n，然后就换成左孩子为2结点的情况了。

正确代码：

/**
 * Definition of TreeNode:
 * class TreeNode {
 * public:
 *     int val;
 *     TreeNode *left, *right;
 *     TreeNode(int val) {
 *         this->val = val;
 *         this->left = this->right = NULL;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
public:
    /**
     * @paramn n: An integer
     * @return: A list of root
     */
    vector<TreeNode *> buildT(int ld, int rd){
        vector<TreeNode *> ans;
        if(ld == rd) {
            TreeNode *T = new TreeNode(ld);
            ans.push_back(T);
            return ans;
        }
        if(ld > rd){
            ans.push_back(NULL);
            return ans;
        }
        for(int i=ld; i<=rd; ++i){
            vector<TreeNode *> ansLeft = buildT(ld, i-1);
            vector<TreeNode *> ansRight = buildT(i+1, rd);
            for(auto lx : ansLeft)
                for(auto rx : ansRight){
                    TreeNode *T = new TreeNode(i);
                    T->left = lx;
                    T->right = rx;
                    ans.push_back(T);
                }
        }
        return ans;
    }
    
    vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {
        // write your code here
        vector<TreeNode *> ans = buildT(1, n);
        return ans;
    }
};

　　分析：在确定当前结点X后，那么X的左孩子结点（或右孩子结点）可能会有多个，那么就把这些可能的结点都存到vector中，然后从左孩子集合中任选出lx结点，以及从右孩子集合中选出rx结点，那么lx和rx就确定了一种形态的二叉树。