N个数依次入栈，出栈顺序有多少种？

　　对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

　　在2n位二进制数中填入n个1的方案数为C(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

　　反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

显然，不符合要求的方案数为C(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=C(2n,n)-C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。

 

//模拟过程如下，dfs来填充入栈和出栈的标志
#include<iostream> 
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<stack>
#define N 100
using namespace std;

int a[N];
int p[2*N];
int pre[2*N];
int used[2*N];
int index[2*N];//如果a[i]==1，那么表示第index[i]个数入栈 
int n;
int cnt;//记录多少个出栈的序列 

int C(int n){
    int ans=1;
    int m = 2*n;
    int nn = n;
    for(int i=1; i<=n; ++i){
        ans *= m--;
        ans /= i;
    }
    return ans/(nn+1);
}

void solve(){
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    memset(used, 0, sizeof(used));
    int prek = 0;
    for(int i=1; i<=2*n; ++i){
        if(a[i] == 1){
            pre[i] = prek;
            prek = i;
        } else {
            int ii = prek;
            while(used[ii]) 
                ii = pre[ii];
            cout<<p[index[ii]]<<" ";//出栈 
            used[ii] = 1;
            pre[prek] = pre[ii];
        }
    }
    cout<<endl;
}

void solve1(){
    stack<int>s;
    int k=1;
    for(int i=1; i<=2*n; ++i){
        if(a[i] == 1)
            s.push(p[k++]);
        else {
            cout<<s.top()<<" ";
            s.pop();
        }
    }
    cout<<endl;
}

void dfs(int k, int cnt0, int cnt1){
    if(k>2*n){
        //solve(); 
        solve1(); 
        ++cnt; 
        return ;
    }
    if(cnt1<n){//入栈 
        a[k] = 1;
        index[k] = cnt1+1;//第几个数入栈 
        dfs(k+1, cnt0, cnt1+1);
    }
    if(cnt0<cnt1){//出栈 
        a[k] = 0;
        dfs(k+1, cnt0+1, cnt1);
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) 
        cin>>p[i];
    dfs(1, 0, 0);
    cout<<endl<<"模拟个数:"<<cnt<<endl;
    cout<<"公式个数:"<<C(n)<<endl;
    return 0;
}

类似问题 买票找零

　　有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

最终结果：C(2n,n)-C(2n,n+1)