长整数的乘法运算

概述

都知道, 计算机中存储整数是存在着位数限制的, 所以如果需要计算100位的数字相乘, 因为编程本身是不支持存储这么大数字的, 所以就需要自己实现, 当然了, 各个编程语言都有大数的工具包, 何必重复造轮子, 但我还是忍不住好奇他们是如何实现的, 虽然最终没有翻到他们的底层源码去, 但查询的路上还是让我大吃一惊, 来吧, 跟我一起颠覆你的小学数学.

长乘运算

当然, 如果自己实现这样一个大数, 用数组来存储每一位是我当前想到的方法. 那如何进行乘法运算呢? 因为用数组来存储数字, 那么数字的加法也要采用每一位进位的方式来进行, 所以下面为了方便说明算法的效率, 以一次个位数的运算视为一个运算单位.

说明一下, 以下的计算步骤计数仅是我个人理解, 与网上其他文章所写不太一样. 仅代表个人观点. ​

上小学知识:

• $4*5=20$
  • 个位数相乘, 一次运算
• $14*5=(4*5)+(1*5)*10=70$
  • 2位数乘1位数, 分解后共: 2次乘法和2位数的加法, 4次运算(乘10可看做移位操作)
• $134*6=(4*6)+(3*6)*10+(1*6)*100=804$
  • 3位数乘1位数, 分解后共: 3次乘法, 3位数的加法(不要看两个加号, 可以乘法运算完后做连加运算, 当然, 也可能连加之后发生溢出, 暂不考虑. 此处简化只看加法的位数即可), 6次运算.
• $1234*7 = (4*7) + (3*7)*10 + (2*7)*100 + (1*7)*1000 = 8638$
  • 4位数乘1位数, 8次运算.

通过上面可总结规律, n位数乘一位数, 需要 2n 次运算. 将 n 位数乘1位数的运算称作短乘. 然后下面再看一下 n 位数乘 n 位数.

• $14*13=(14*3) + (14*1)*10=182$
  • 两位数相乘, 2次短乘, 4位数加法(99*9*10 最差情况). 共: $2*(2n) + 4 = 12$ 次运算
• $132*256=(132*6)+(132*5)*10+(132*2)*100=33792$
  • 三位数相乘: 3次短乘, 6位数加法(最差情况), 共: $3*(2n) + 6=24$次运算.

通过上面, 总结规律, n位数相乘(长乘)的运算次数是: $n*(2n) + 2n = 2n^2+2n$ 次运算. 当然, 这就是我们从小接受的进行乘法运算的方法, 所以写成这样还好, 比较合乎常理. 时间复杂度是 O(n^2)

但是, 他还可以更快么? 我以为就这样了, 是我小看了伟大的数学家. .

Karatsuba方法

由简入难, 先看一下两位数的乘法:

12*34, 为了方便初中方程未知数的思维, 我们将这两个数字拆解一下:

$$\begin{align*} 12 &= 10a+b (其中 a=1, b=2) \\ 34 &= 10n+m (其中 n=3, m=4) \end{align*}$$

则,

$$\begin{align*} & 12*34 \\ =& (10a + b) * (10n+m) \\ =& 100an + 10am + 10bn + bm \\ =& 100an + 10(am + bn) + bm \end{align*}$$

当化简到这里, 2位数相乘需要几次运算? 来算一下:

• $10(am + bn)$ : 共2次乘法, 2位数加法, 共4次运算.
• an 和 bm : 共2次乘法, 共2次运算
• 剩下最外层的加法, 最差情况: ($100*9*9$ 4位数, $10*(9*9 + 9*9)$ 4位数), 共4次运算
• 则总计, $4+4+2=10$次运算.

此时, 需要的运算次数已经较之前的12次少一些了, 但是别急, 容我把公式再变换一下.

令:

$$\begin{align*} u&=an \\ w&=bm \\ s&=(b-a)*(m-n) \end{align*}$$

公式:

$$\begin{align*} & 100u + (u+w-s)*10+w \\ =& 100an + (an + bm - (b-a) * (m-n)) *10 + bm \\ =& 100an + (an + bm - bm + bn + am - an)*10 + bm \\ =& 100an + (bn + am) * 10 + bm \end{align*}$$

是不是和上面的公式一样了呢? 是的, 那转换公式是为了什么呢? 当然是为了减少运算次数啦. 算一下:

• 计算u : 1次运算
• 计算w: 1次运算
• 计算 s: 3次运算
• 计算 u+w-s: 2位数运算, 2次运算
• 计算最外层加法: 3位数运算, 3次运算
• 共: 10次运算.

这和我刚才计算的不也是10次么? 不过个位数的乘法换成加法就会变快了么? 不要小看这个一次乘法运算的减少, 从上面能够看出, 乘法运算的运算次数是随位数成指数增长的, 而加法运算则随位数成线性增长, 等看了下面的多位数相乘, 你就知道减少的这一次乘法运算有什么用了.

不过下面才是重头戏, 数字多了之后, 此算法就明显比传统的快的多了.

4位数乘法#

计算: $1234*5678$

设:

$$\begin{align*} 1234&=100a+b (其中 a=12, b=34) \\ 5678&=100n+m (其中 n=56, m=78) \\ 1234+5678 &= (100a + b) * (100n + m) \end{align*}$$

套用上面的公式:

令:

$$\begin{align*} u&=an \\ w&=bm \\ s&=(b-a)*(m-n) \end{align*}$$

则结果为: $10000u + (u+w-s)*100+w$

此次进行了几次运算呢? 算一下:

• 计算 u: 两位数乘法, 10次运算
• 计算w: 10次运算
• 计算s: 两位数减法两次, 一次乘法, 14次运算
• 计算整体: 8位数相加($99*99*10000$), 8次运算
• 整体: $10+10+14+8=32$次运算.

32次运算, 之前长乘的方式需要几次呢? $2*(4*4) + 2*4=40$. 是不是少了.

也就是说, 4位数的乘法, 其中用到了3次两位数乘法, 2次两位数减法, 1次8位数加法.

8位数乘法#

8位数乘法就不展开了, 直接套用4位数乘法得出的结论, 其运算次数为:

• 3次4位数乘法: $3*32=96$次
• 2次4位数减法: $2*4=8$次
• 1次 $9999*9999*100000000$ 位数加法: 17次
• 共: $96+8+17=121$次运算.

原来的长乘需要几次呢? $2*(8*8) + 2*8=144$次.

是不是有一种动态规划, 分而治之的感觉? 可以利用函数递归来实现.

问题#

想必此算法的问题也很明显了, 为了每次都能将数字拆成左右两部分, 所以只能够计算位数是2的 n 次方的数字, 如果位数不足, 则需要在前边进行补0.

算法比较

为了比较两个算法的运算次数, 让我们忽略运算的低次幂以及常数项, 则(以下 n 为2的幂):

长乘

$$f(n) = \begin{cases} 1, \text{ $n$ == 1} \\ 2 * (2^n)^2, \text{else} \end{cases}$$

Karatsuba:

$$f(n) = \begin{cases} 3, \text{$n$==1} \\ 3*f(n-1), \text{else} \end{cases}$$

分别进行计算:

2的幂/数字位数	长乘	Karatsuba
$2^0=1$	1	1
$2^1 = 2$	8	3
$2^{10}=1024$	2097152
$2^{20}=1048576$	2199023255552	1162261467
$2^{50}=1125899906842624$	2535301200456458802993406410752	239299329230617529590083
$2^{100}=1267650600228229401496703205376$	3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602752	171792506910670443678820376588540424234035840667

可以看出来, 当数字的位数越大, 则两个算法之间的差距越明显.

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有没有被颠覆的感觉? 是不是自己知道了20多年的乘法运算, 根本没有想到还有其他计算乘法的运算规则? 我也没想到, 涨见识了...

果然, 没有什么是伟大的科学家们做不到的, 这算法我看了近乎整整一天, 草稿纸废了四十张, 总算是略知一二了.