动态规划-各种题型及思路整理（自用笔记，大神绕道）

简介

动态规划(dynamic programming，简称dp)，是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。（没办法，其实算法就是数学，毕竟数学是基础学科，由数学支撑的学科太多太多）

分类

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。

举例：

线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；

区域动规：石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；

树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等；

背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶等；

基本思想

       动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往 不是互相独立的 。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够 保存已解决的子问题的答案 ，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以 用一个表来记录所有已解的子问题的答案 。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的 填表 格式。

       说到这个思想，想到了大一时老师讲斐波那契数列（Fibonacci sequence），很容易得到递归式，递归出口也给了，当时就直接用了递归写了。后来老师说，试试n=1000甚至更大时，你的程序需要多久。我发现真的好慢，后来了解到函数递归栈，了解到计算机并不会把算过的子问题保存起来。最后发现可以 将子问题存在数组 里面，这样快了很多。当然，这是最简单的了，还有需要填二维数组的。才开始系统的学动态规划，慢慢总结吧。

基本思路

(1)确定问题的决策对象。

(2)对决策过程划分阶段。

(3)对各阶段确定状态变量。

(4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。

(5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。

状态转移方程

状态转移方程的一般形式：

一般形式： U：状态； X：策略 
顺推：f[Uk]=opt{f[Uk-1]+L[Uk-1,Xk-1]} 其中， L[Uk-1,Xk-1]： 状态Uk-1通过策略Xk-1到达状态Uk 的费用 初始f[U1]；结果：f[Un]。

倒推： 
f[Uk]=opt{f[Uk+1]+L[Uk,Xk]} 
L[Uk,Xk]： 状态Uk通过策略Xk到达状态Uk+1 的费用 
初始f[Un]；结果：f(U1)

适用条件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

1. 最优化原理 （最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2. 无后效性 将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，托福考试它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

一句话总结

动态规划就是保存子问题结果的递归。一维时，将结果存放至一维数组。二维时，将结果存放在二维数组。

我们需要找到出口，一维时为数组的前几个，二维时一般为首行和首列。然后确定状态转移方程，找到dp[i][j]与其他子问题的关系。动态规划考虑前几个状态，常见有前缀和思想。最后，填一维数组或二维数组即可。