【洛谷P1641】[SCOI2010]生成字符串
题目描述
lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗?
输入输出格式
输入格式:
输入数据是一行,包括2个数字n和m
输出格式:
输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数
输入输出样例
2 2
2
说明
limitation
每点2秒
对于30%的数据,保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据,保证1<=m<=n<=1000000
来源:SCOI 2010
分析(转载)
写的确实不错。本题要数形结合,有一定的技巧是一个不错的题。
首先,我们设选1为(1,1),选0为(1,-1)
目标就是(n+m,n-m)
总方案数为C(n+m,n),因为有n+m个位置,放n个1
然后要减去不合法的即线路通过y=-1的。将线路与y=-1交点的左边沿着y=-1做对称操作,则最后等价于从(0,-2)走到(n+m,n-m)的方案数
所以向上走n-m+2
则有x-y=n-m+2
x+y=n+m
x=n+1,y=m-1
所以不合法方案为C(n+m,n+1)
ans=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)
求这些用模逆元,O(n)求解
另附上洛谷题解中的分析
可以考虑把11的个数与00的个数的和看成xx坐标,11的个数与00的个数的差看成yy坐标,那么如下图:
向右上走(xx坐标加11,yy坐标加11)就表示这个字符选择11。
向右下走(xx坐标加11,yy坐标减11)就表示这个字符选择00。
这样子,如果不考虑限制条件,就表示从(0,0)(0,0)走n+mn+m步到达(n+m,n-m)(n+m,n−m),这相当于从n+mn+m步中选出mm步向右下走,也就是C(n+m,m)C(n+m,m)。
考虑限制条件,任意前缀中11的个数不少于00的个数,也就是这条路径不能经过直线y=-1y=−1。可以通过对称性发现,从(0,0)(0,0)走到直线y=-1y=−1上的一点,相当于从(0,-2)(0,−2)走到该点。也就是说,路径经过直线y=-1y=−1的方案数就是从(0,-2)(0,−2)走n+mn+m步到达(n+m,n-m)(n+m,n−m),这个方案数可以用组合数表示为C(n+m,m-1)C(n+m,m−1)。
所以最后结果为C(n+m,m)-C(n+m,m-1)C(n+m,m)−C(n+m,m−1)。对于组合数,可以预处理阶乘后用乘法逆元计算。
代码
我是用费马小定理做的
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int p=20100403; typedef long long ll; int n,m; int fac[2000005]; int power(int a,int b) { int res=1,base=a; while(b) { if(b&1) res=(ll)res*(ll)base%(ll)p; base=(ll)base*(ll)base%(ll)p; b=b>>1; } return res; } int inv(int x) { return power(x,p-2);} void fct() { fac[0]=1; for(int i=1;i<=2000000;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*(ll)i%(ll)p; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); fct(); int t1,t2,x1,x2,ans; t1=fac[n+m]; t2=(ll)fac[n]*(ll)fac[m]%(ll)p; x1=(ll)t1*(ll)inv(t2)%(ll)p; t2=(ll)fac[m-1]*(ll)fac[n+1]%(ll)p; x2=(ll)t1*(ll)inv(t2)%(ll)p; ans=(x1%p-x2%p+p)%p; printf("%d\n",ans); return 0; }