【NOIp模拟赛】免农

【问题描述】

（如果你想更好地理解本题，请先阅读 NOI2011 第一试“兔农”一题）

萌蛋近年收入不景气，正在她发愁如何能多赚点钱时，她听到隔壁的小朋友在讨论免子繁殖的问题。（注：免子是一种简单的单细胞生物）

问题是这样的：时刻 0 有 2 只刚出生的免子。每一时刻，每只免子都会分裂成为 2 只免子。问时刻𝑛共有多少只免子？

聪明的你可能已经发现，时刻𝑛的免子数正好是第𝑛 + 1个 2 的幂次。萌蛋不懂什么叫幂，但她也发现了规律：时刻𝑛 + 1的免子数等于时刻𝑛的免子数的 2 倍。前几个时刻（从 0 开始）的免子数依次为：

2 4 8 16 32 64 128 256 512 …

萌蛋发现越到后面免子数增长的越快，期待养免子一定能赚大钱，于是萌蛋在时刻 0 买了 2 只免子开始培养。

每天，萌蛋都要给免子们提供营养。免子的培养基非常特别，每𝑘只免子占据一个培养基，最后剩下的不足𝑘只占据一个培养基。由于免子特别害怕孤独， 如果某个培养基只有 1 只免子，这只免子就会很快死掉。

然而，每个时刻的免子数仍然是可以计算的。例如，当𝑘 = 7时，前几个时刻（从 0 开始）的免子数依次为：

2 4 7 14 28 56 112 224 448 …

给定𝑛，你能帮助萌蛋计算时刻𝑛她有多少只免子么？由于答案可能非常大， 你只需要告诉萌蛋时刻𝑛的免子只数对𝑝的余数即可。

【输入文件】

输入只有一行，包含三个整数𝑛 𝑘 𝑝。

【输出文件】

输出只有一行，为一个整数，表示时刻𝑛的免子只数对𝑝的余数。

【输入样例】

6 7 10086

【输出样例】

112

【数据规模和约定】

对于 30%的数据，𝑛 ≤ 1,000,000。另有 30%的数据，𝑘是𝑝的正整数倍。

对于 100%的数据，𝑛      ≤ 1,000,000,000, 2 ≤ 𝑘 ≤ 1,000,000,1 ≤ 𝑝 ≤ 1,000,000。

分析

题解原话

对于如果k是偶数兔子不会死去的证明：

设n为兔子的只数，有一只兔子死去的条件是n mod k=1;

转换一下就是 n-t*k=1; n=1+t*k; 如果k是偶数的话,它的倍数也是偶数,偶数+1是奇数,而兔子只数是偶数,所以当k时偶数时不会有兔子死亡.

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,k,p;
int power(int x)
{
    int res=1,base=2;
    while(x)
    {
        if(x&1) res=(ll)res*(ll)base%(ll)p;
        base=(ll)base*(ll)base%(ll)p;
        x=x>>1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    freopen("rabit.in","r",stdin);
    freopen("rabit.out","w",stdout);
    n=read();k=read();p=read();
    if(k&1)
    {
        int ak=2,ap=2;
        while(n--)
        {
            ak=(ll)ak*(ll)2%(ll)k;
            ap=(ll)ap*(ll)2%(ll)p;
            if(ak==1)
            {
                ap=(ap-1+p)%(ll)p;//ap-1有可能<=0，所以要加上p
                ap=(ll)ap*(ll)power(n)%(ll)p;
                printf("%d\n",ap); return 0;
            }
        }
        printf("%d\n",ap);
    }
    else
    printf("%d\n",power(n+1));
    return 0;
}