ACM数论之旅8---组合数(组合大法好(,,• ₃ •,,) )
组合数并不陌生(´・ω・`)
我们都学过组合数
会求组合数吗
一般我们用杨辉三角性质
杨辉三角上的每一个数字都等于它的左上方和右上方的和(除了边界)
第n行,第m个就是,就是C(n, m) (从0开始)
电脑上我们就开一个数组保存,像这样
用递推求
1 #include<cstdio> 2 const int N = 2000 + 5; 3 const int MOD = (int)1e9 + 7; 4 int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m) 5 void init(){ 6 for(int i = 0; i < N; i ++){ 7 comb[i][0] = comb[i][i] = 1; 8 for(int j = 1; j < i; j ++){ 9 comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1]; 10 comb[i][j] %= MOD; 11 } 12 } 13 } 14 int main(){ 15 init(); 16 }
(PS:大部分题目都要求求余,而且大部分都是对1e9+7这个数求余)
这种方法的复杂度是O(n^2),有没有O(n)的做法,当然有(´・ω・`)
因为大部分题都有求余,所以我们大可利用逆元的原理(没求余的题目,其实你也可以把MOD自己开的大一点,这样一样可以用逆元做)
根据这个公式
我们需要求阶乘和逆元阶乘
我们就用1e9+7来求余吧
代码如下:
1 #include<cstdio> 2 const int N = 200000 + 5; 3 const int MOD = (int)1e9 + 7; 4 int F[N], Finv[N], inv[N];//F是阶乘,Finv是逆元的阶乘 5 void init(){ 6 inv[1] = 1; 7 for(int i = 2; i < N; i ++){ 8 inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD; 9 } 10 F[0] = Finv[0] = 1; 11 for(int i = 1; i < N; i ++){ 12 F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD; 13 Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD; 14 } 15 } 16 int comb(int n, int m){//comb(n, m)就是C(n, m) 17 if(m < 0 || m > n) return 0; 18 return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD; 19 } 20 int main(){ 21 init(); 22 }
组合大法好,要懂得善加利用(。-`ω´-)
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