ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现（我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭）
欧拉函数，用φ(n)表示
欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目
辣么，怎么求哩？~(～o￣▽￣)～o
可以先在1到n-1中找到与n不互质的数，然后把他们减掉
比如φ(12)
把12质因数分解，12=2*2*3，其实就是得到了2和3两个质因数
然后把2的倍数和3的倍数都删掉
2的倍数：2,4,6,8,10,12
3的倍数：3,6,9,12
本来想直接用12 - 12/2 - 12/3
但是6和12重复减了
所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来 (＞﹏＜)
所以这样写12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3)
这叫什么，这叫容斥啊，容斥定理听过吧
比如φ(30)，30 = 2*3*5
所以φ(30) = 30 - 30/2 - 30/3 - 30/5 + 30/(2*3) + 30/(2*5) + 30/(3*5) - 30/(2*3*5)
但是容斥写起来好麻烦(￣.￣)
有一种简单的方法
φ(12) = 12*(1 - 1/2)*(1 - 1/3) = 12*(1 - 1/2 - 1/3 + 1/6)
φ(30) = 30*(1 - 1/2)*(1 - 1/3)*(1 - 1/5) = 30*(1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/15 - 1/30)
你看( •̀∀•́ )，拆开后发现它帮你自动帮你容斥好
所以φ(30)的计算方法就是先找30的质因数
分别是2,3,5
然后用30* 1/2 * 2/3 * 4/5就搞定了
顺便一提，phi(1) = 1
代码如下：
1 //欧拉函数
2 int phi(int x){
3 int ans = x;
4 for(int i = 2; i*i <= x; i++){
5 if(x % i == 0){
6 ans = ans / i * (i-1);
7 while(x % i == 0) x /= i;
8 }
9 }
10 if(x > 1) ans = ans / x * (x-1);
11 return ans;
12 }
（phi就是φ的读音）
机智的代码，机智的我(｡・`ω´･)
这个的复杂度是O（√n），如果要你求n个数的欧拉函数，复杂度是O（n√n），这也太慢了
有更快的方法
跟埃筛素数差不多
1 #include<cstdio>
2 const int N = 100000 + 5;
3 int phi[N];
4 void Euler(){
5 phi[1] = 1;
6 for(int i = 2; i < N; i ++){
7 if(!phi[i]){
8 for(int j = i; j < N; j += i){
9 if(!phi[j]) phi[j] = j;
10 phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
11 }
12 }
13 }
14 }
15 int main(){
16 Euler();
17 }
（Euler就是欧拉）
另一种，比上面更快的方法
需要用到如下性质
p为质数
1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质
2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p （我不会证明）
3.若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 ) （我不会证明）
（所以我说我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭）
1.若p为质数，则phi(p)=p-1（只有1与它互质）；phi（1）=1。
2. 若i%p=0,则phi(i*p)=phi(i)*phi(p)(p为质数)
证明：
设d=gcd（n,i),n、i不互质，则有n=xd,i=yd,所以n+i=(x+y)d，所以n+i与i不互质
[1,i]中与i不互质的数有i-phi(i)个，因为n+i与i不互质，所以[i+1,2*i]中与b不互质的数也是i-phi(i)个，所以[1,p*i]中与i不互质的数为p*i-p*phi(i)
因为i%p=0,所以i、p没有不相同的因数，所以[1,p*i]中与p*i不互质的数有p*i-phi(p*i)个
所以p*i-p*phi(i)=p*i-p*phi(i)
所以phi(p*i)=p*phi(i)。
以上过程证明了当n与i不互质时，n+i与i也不互质。
3. 若i mod p ≠0, 那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)
证明
i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i * p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即性质1
该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。
需要用到如下性质(p为质数)：
1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质
2. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=p * phi(i) 证明如下
(上述证明存在bug。。感谢@PrimaryOIer指教)
上面的过程证明了从区间[1,i]->[i+1,i+i]，若整数n不与i互质，n+i依然与i不互质。下面给出另一个证明：若整数n与i互质，n+i与i依然互质
3.若i mod p ≠0, 那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)
i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i * p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即第一条性质
代码如下：
1 #include<cstdio>
2 using namespace std;
3 const int N = 1e6+10 ;
4 int phi[N], prime[N];
5 int tot;//tot计数，表示prime[N]中有多少质数
6 void Euler(){
7 phi[1] = 1;
8 for(int i = 2; i < N; i ++){
9 if(!phi[i]){
10 phi[i] = i-1;
11 prime[tot ++] = i;
12 }
13 for(int j = 0; j < tot && 1ll*i*prime[j] < N; j ++){
14 if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
15 else{
16 phi[i * prime[j] ] = phi[i] * prime[j];
17 break;
18 }
19 }
20 }
21 }
22
23 int main(){
24 Euler();
25 }
最后说下
a^b % p 不等价 (a%p)^(b%p) % p
因为
a^φ(p) ≡ 1 (mod p)
所以
a^b % p = (a%p)^(b%φ(p)) % p
（欧拉函数前提是a和p互质）
如果p是质数
直接用这个公式
机智的代码，机智的我(｡・`ω´･)
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2016年7月23号
我的天哪，我又发现了一个新公式，貌似可以摆脱a和p互质的束缚，让我们来命名为：超欧拉取模进化公式
这是历史性的一刻，妈妈再也不用为a和p不互质而担心了= =
