MITx - 6.00.1x 笔记(2) Simple Programs

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二分法能够极大地减少运算时间

穷举法

计算机如何处理浮点数

Newton-Raphson方法

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method）

使用牛顿迭代法来计算平方根

→迭代算法

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什么是好的程序

• 不以代码量为依据
• 注重代码的功能
• 使用函数
• 能进行分离(模块化）和抽象

模块化（function, class)、抽象出方法

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递归 recursion

简化函数，可在函数内部调用自身，注意需要设定基准情况防止无限循环。

递归应用举例：

迭代 vs. 递归

从程序员角度来说，使用递归方法更省心更高效，不用另外定义变量。

数学归纳

彩蛋：Tower of Hanoi solution with recursion

def printMove(fr, to):
    print('move from ' + str(fr) + ' to ' + str(to))

def Towers(n, fr, to, spare):
    # n为需要移动的套圈的个数
    # fr, to, spare 为位置
    if n == 1:
        printMove(fr, to)
    else:
        Towers(n-1, fr, spare, to)
        Towers(1, fr, to, spare)
        Towers(n-1, spare, to, fr)

测试：

print(Towers(4, "P1", "P2", "P3"))

结果：

move from P1 to P3
move from P1 to P2
move from P3 to P2
move from P1 to P3
move from P2 to P1
move from P2 to P3
move from P1 to P3
move from P1 to P2
move from P3 to P2
move from P3 to P1
move from P2 to P1
move from P3 to P2
move from P1 to P3
move from P1 to P2
move from P3 to P2
None

通过iteration很难完成的任务，用recursion方法可以轻松完成。

→ 总思路：分解为简化版方法

练习1：用iteration计算最大公约数（Greatest Common Divisor，缩写为gcd）。

def gcdIter(a, b):
    '''
    a, b: positive integers

    returns: a positive integer, the greatest common divisor of a & b.
    '''
    # Your code here
    gcd = min(a, b)
    while (a % gcd != 0) or (b % gcd != 0):
        #print("a% gcd: ", a % gcd)
        #print("b% gcd: ", b % gcd)
        #print("tmp: ", gcd)
        gcd -= 1

    return gcd

练习2：用Iteration借助欧几里德算法（Euclid’s algorithm ）计算最大公约数

• 定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。即：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。 (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)

def gcdRecur(a, b):
    '''
    a, b: positive integers

    returns: a positive integer, the greatest common divisor of a & b.
    '''
    # Your code here
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcdRecur(b, a % b）

斐波那契数与递归方法
Fibonacci number

def fib(x):
    """assumes x an integer >= 0
    return Fibonacci of x"""
    if x ==0 or x == 1:
        return 1
    else:
        return fib(x-1) + fib(x-2)

用递归检测回文（palindrome)

• 首先去除标点，转换为小写字母
• 递归方法：
  
  • 基准情况：如果长度为0或1，符合
  • 递归情况：
    
    • 如果第一个字母和最后的子母相同， 依次对称检查内部对应位置的字母是否相同