BZOJ1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

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Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值) 这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

Source

 

【题解】

非严格次小生成树：求得MST，枚举加哪一条边，删除环上的最大边。

严格次小生成树：若最大边 = 加入的边，那么找不等于最大边的次大边

很多细节，见代码

求一条路径上最大边次大边时，用lca把他们拆成两条链求，更方便

由于INF设小了WA了一发

由于忘记在链上蹦跶了，WA了两发

我的AC记录啊。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <string> 
#include <cmath> 
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define abs(a) ((a) < 0 ? (-1 * (a)) : (a))
template<class T>
inline void swap(T &a, T &b)
{
    T tmp = a;a = b;b = tmp;
}
inline void read(long long &x)
{
    x = 0;char ch = getchar(), c = ch;
    while(ch < '0' || ch > '9') c = ch, ch = getchar();
    while(ch <= '9' && ch >= '0') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    if(c == '-') x = -x;
}

const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const long long MAXN = 500000 + 10;
const long long MAXM = 500000 + 10;

long long u[MAXM],v[MAXM],w[MAXM],cnt[MAXM],n,m,fa[MAXN],tot,f1,f2,M,vis[MAXM];
long long cmp(long long a, long long b)
{
    return w[a] < w[b];
} 
long long find(long long x)
{
    return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
struct Edge
{
    long long u,v,w,nxt;
    Edge(long long _u, long long _v, long long _w, long long _nxt){u = _u;v = _v;w = _w;nxt = _nxt;}
    Edge(){}
}edge[MAXN << 1];
long long head[MAXN], cntt;
inline void insert(long long a, long long b, long long c)
{
    edge[++ cntt] = Edge(a,b,c,head[a]);
    head[a] = cntt;
} 

//p[0]表示跳到哪个节点，p[1]表示最大值，p[2]表示次大值 
long long p[3][30][MAXN], deep[MAXN];
void dfs(long long x, long long pre)
{
    for(long long pos = head[x];pos;pos = edge[pos].nxt)
    {
        long long v = edge[pos].v;
        if(v == pre) continue;
        p[0][0][v] = x, p[1][0][v] = edge[pos].w;deep[v] = deep[x] + 1, dfs(v, x);
    }
}
void yuchuli()
{
    memset(p[1], -1, sizeof(p[1]));
    memset(p[2], -1, sizeof(p[2]));
    dfs(1, -1);
    for(M = 0;(1 << M) <= n;++ M); -- M;
    for(long long i = 1;i <= M;++ i) 
        for(long long j = 1;j <= n;++ j)
            p[0][i][j] = p[0][i - 1][p[0][i - 1][j]];
    for(long long i = 1;i <= M;++ i)
        for(long long j = 1;j <= n;++ j)
            if(deep[j] >= (1 << i)) 
            {
                long long tmp1 = p[1][i - 1][j], tmp2 = p[1][i - 1][p[0][i - 1][j]];
                if(tmp1 == tmp2) p[2][i][j] = max(p[2][i - 1][j], p[2][i - 1][p[0][i - 1][j]]), p[1][i][j] = tmp1;
                else if(tmp1 > tmp2) p[2][i][j] = max(tmp2, p[2][i - 1][j]), p[1][i][j] = tmp1;
                else p[2][i][j] = max(tmp1, p[2][i - 1][p[0][i - 1][j]]), p[1][i][j] = tmp2;
            }
}
long long LCA(long long u, long long v)
{
    if(deep[u] < deep[v]) swap(u, v);
    for(long long i = M;i >= 0;-- i)
        if(deep[u] >= deep[v] + (1 << i))
            u = p[0][i][u];
    if(u == v) return u;
    for(long long i = M;i >= 0;-- i)
        if(p[0][i][u] != p[0][i][v])
            u = p[0][i][u], v = p[0][i][v];
    return p[0][0][u];
}
//v为lca 
void lian(long long &ma, long long &cima, long long u, long long v)
{
    ma = cima = -1;
    for(long long i = M;i >= 0;-- i)
        if(deep[u] >= deep[v] + (1 << i))
        {
            if(ma < p[1][i][u]) cima = max(ma, p[2][i][u]), ma = p[1][i][u];
            else if(ma > p[1][i][u]) cima = max(cima, p[1][i][u]);
            else cima = max(cima, p[2][i][u]);
            u = p[0][i][u];
        }
}

void find(long long &ma, long long &cima, long long u, long long v)
{
    long long lca = LCA(u, v);
    long long lma, lcima, rma, rcima;
    lian(lma, lcima, u, lca), lian(rma, rcima, v, lca);
    ma = max(lma, rma);
    if(lma > rma) cima = max(rma, lcima);
    else if(lma < rma) cima = max(lma, rcima);
    else cima = max(lcima, rcima);
}

long long ans, ans2;
int main()
{
    read(n), read(m);
    for(long long i = 1;i <= m;++ i) cnt[i] = i, read(u[i]), read(v[i]), read(w[i]);
    for(long long i = 1;i <= n;++ i) fa[i] = i;
    std::sort(cnt + 1, cnt + 1 + m, cmp);
    for(long long i = 1;i <= m;++ i)
    {
        f1 = find(u[cnt[i]]), f2 = find(v[cnt[i]]);
        if(f1 == f2) continue;
        ++ tot;insert(u[cnt[i]], v[cnt[i]], w[cnt[i]]), insert(v[cnt[i]], u[cnt[i]], w[cnt[i]]);
        fa[f1] = f2; vis[cnt[i]] = 1;ans += w[cnt[i]];
        if(tot == n - 1) break;
    }
    yuchuli();ans2 = INF;
    for(long long i = 1;i <= m;++ i)
    {
        if(vis[i]) continue;
        long long ma,cima;
        find(ma, cima, u[i], v[i]);
        if(w[i] != ma) ans2 = min(ans2, ans + (w[i] - ma));
        else ans2 = min(ans2, ans + (w[i] - cima));
    }
    printf("%lld\n", ans2);
    return 0;
}