UVA11762 Race to 1

Race to 1

 题目大意：给你一个正整数n，每次选不超过n的素数P，如果P | n,则n /= P。问把N变成1的期望操作次数

 

马尔科夫过程，即将状态转移看做一个FSM（有限状态机），每个状态用节点表示，转移用边表示，边权为转移概率

f[x]表示x变为1期望操作次数,p(x)表示小于等于x的素数个数，g[x]表示x中素因数个数

f[x] = 1 + f[x] * (1 - g[x]/p[x]) + Σ(y | x且y为素数)f[x/y] / p[x]

提出f[x]，有f[x] = (p[x] + Σ(y | x且y为素数)f[x/y])/g[x]

预处理p，√x求出g，记忆化搜索即可，总复杂度n√n + T

但f[x]中的x下降很快，真实计算量远远小于此

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath> 
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define abs(a) ((a) < 0 ? (-1 * (a)) : (a))
inline void swap(int &a, int &b)
{
    long long tmp = a;a = b;b = tmp;
}
inline void read(int &x)
{
    x = 0;char ch = getchar(), c = ch;
    while(ch < '0' || ch > '9') c = ch, ch = getchar();
    while(ch <= '9' && ch >= '0') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    if(c == '-') x = -x;
}

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1000000;

int bp[MAXN + 10], prime[MAXN + 10], tot, p[MAXN + 10], b[MAXN + 10], t, ca, n;
double dp[MAXN + 10];
//p[x]表示不超过x的素数个数 g[x]表示x的因数个数

void make_prime()
{
    for(register int i = 2;i <= MAXN;++ i)
    {
        if(!bp[i]) prime[++tot] = i;
        for(register int j = 1;j <= tot && i * prime[j] <= MAXN;++ j)
        {
            bp[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

double f(int x)
{
    if(b[x]) return dp[x];
    int tmp = sqrt(x), cnt = 0;
    for(register int i = 1;i <= tmp;++ i)
        if(x % i == 0)
        {
            if(!bp[x/i]) dp[x] += f(i), ++ cnt;
            if(!bp[i] && i != x/i) dp[x] += f(x/i), ++ cnt;
        }
    dp[x] += (double)p[x];dp[x] /= (double)cnt;b[x] = 1;
    return dp[x];
}

int main()
{
    read(t);
    make_prime();
    p[0] = p[1] = 0;
    b[0] = b[1] = 1;
    bp[1] = 1;
    for(register int i = 2, now = 1;i <= MAXN;++ i)
    {
        p[i] = p[i - 1];
        if(i == prime[now])++ now, ++ p[i];
    }
    for(ca = 1;t;-- t, ++ ca)
    {
        read(n);
        printf("Case %d: %.10lf\n", ca, f(n));
    }
    return 0;
}