POJ1991 NOI1999棋盘分割

棋盘分割

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Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差，其中平均值，x_i为第i块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

Output

仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

Source

Noi 99

 

【题解】

先推一发式子，小学数学

然后DP

dp[i][x1][y1][x2][y2]表示矩形(x1,y1),(x2,y2)分成i块的平方和

普及组转移

有个大坑：

printf保留小数的时候自动四舍五入

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define dist(x1, y1, x2, y2) (g[(x2)][(y2)] - g[((x1) - 1)][(y2)] - g[(x2)][((y1) - 1)] + g[((x1) - 1)][((y1) - 1)])

inline void read(long long &x)
{
    x = 0;char ch = getchar(), c = ch;
    while(ch < '0' || ch > '9')c = ch, ch = getchar();
    while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    if(c == '-')x = -x; 
}

const long long MAXN = 15 + 5;

long long n, g[10][10], dp[MAXN][10][10][10][10], sum; 

int main()
{
    read(n);
    for(register long long i = 1;i <= 8;++ i)
        for(register long long j = 1;j <= 8;++ j)
        {
            read(g[i][j]);
            sum += g[i][j];
            g[i][j] = g[i - 1][j] + g[i][j - 1] - g[i - 1][j - 1] + g[i][j];
        }
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    //dp[i][x1][y1][x2][y2]表示把(x1,y1)(x2,y2)矩形切割成i块的最小平方和
    for(register long long i = 1;i <= n;++ i)
        for(register long long x1 = 1;x1 <= 8;++ x1)
            for(register long long y1 = 1;y1 <= 8;++ y1)
                for(register long long x2 = 1;x2 <= 8;++ x2)
                    for(register long long y2 = 1;y2 <= 8;++ y2)
                    {
                        if(i == 1)
                        {
                            dp[i][x1][y1][x2][y2] = dist(x1, y1, x2, y2)*dist(x1, y1, x2, y2); 
                            continue;
                        }
                        for(register long long a = x1;a < x2;++ a)
                        {
                            dp[i][x1][y1][x2][y2] = min(dp[i][x1][y1][x2][y2], dp[i - 1][x1][y1][a][y2] + dist(a + 1, y1, x2, y2)*dist(a + 1, y1, x2, y2));
                            dp[i][x1][y1][x2][y2] = min(dp[i][x1][y1][x2][y2], dp[i - 1][a + 1][y1][x2][y2] + dist(x1, y1, a, y2)*dist(x1, y1, a, y2));
                        }
                        for(register long long a = y1;a < y2;++ a)
                        {
                            dp[i][x1][y1][x2][y2] = min(dp[i][x1][y1][x2][y2], dp[i - 1][x1][y1][x2][a] + dist(x1, a + 1, x2, y2)*dist(x1, a + 1, x2, y2));
                            dp[i][x1][y1][x2][y2] = min(dp[i][x1][y1][x2][y2], dp[i - 1][x1][a + 1][x2][y2] + dist(x1, y1, x2, a)*dist(x1, y1, x2, a));
                        }
                    }
    printf("%.3lf", (double)sqrt(((double)dp[n][1][1][8][8]*1.0/n) - ((double)sum*1.0/n) * ((double)sum*1.0/n)));
    return 0;
}