洛谷P2723 丑数 Humble Numbers [2017年 6月计划 数论07]
P2723 丑数 Humble Numbers
题目背景
对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, ..., pK},考虑一个正整数集合，该集合中任一元素的质因数全部属于S。这个正整数集合包括，p1、p1*p2、p1*p1、p1*p2*p3...(还有其 它)。该集合被称为S集合的“丑数集合”。注意：我们认为1不是一个丑数。
题目描述
你的工作是对于输入的集合S去寻找“丑数集合”中的第N个“丑数”。所有答案可以用longint(32位整数)存储。
补充：丑数集合中每个数从小到大排列，每个丑数都是素数集合中的数的乘积，第N个“丑数”就是在能由素数集合中的数相乘得来的（包括它本身）第n小的数。
输入输出格式
输入格式：第 1 行: 二个被空格分开的整数:K 和 N ， 1<= K<=100 ， 1<= N<=100,000.
第 2 行: K 个被空格分开的整数:集合S的元素
输出格式：单独的一行，输出对于输入的S的第N个丑数。
输入输出样例
4 19 2 3 5 7
27
说明
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 3.1
我居然卡常卡过了！
嗯。。
一个方法是用二叉堆（非手写过不了的）
我们设第i个丑数是num[i]
我们用所有p去乘num[i]，把它们压到栈里面。弹出最小数就是num[i + 1]
为了防止重加入的丑数重复需要判断一下
这题因为空间开小了交了很多遍才过
#include <bits/stdc++.h>
inline void read(long long &x){x = 0;char ch = getchar();while(ch > '9' || ch < '0'){ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();}
inline long long max(long long a, long long b){return a > b ? a : b;}
inline long long min(long long a, long long b){return a > b ? b : a;}
inline void swap(long long &a, long long &b){long long tmp = a;a = b;b = tmp;}
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 100000 + 10;
const int MAXK = 200 + 10;
long long p[MAXK],k,n;
long long heap[MAXN << 7];int cnt;
//小根堆
inline int down()//下滤
{
int rank = 1;
while(true)
{
int p;
if((rank << 1) > cnt)break;
if((rank << 1 | 1) > cnt)p = rank << 1;
else
{
if(heap[rank << 1] < heap[rank << 1 | 1])
p = (rank << 1);
else
p = (rank << 1 | 1);
}
if(heap[rank] >= heap[p])
{
swap(heap[rank], heap[p]);
rank = p;
}
else break;
}
}
inline void up(int rank)//上滤
{
while(heap[rank] < heap[rank >> 1] && rank > 1)
{
swap(heap[rank], heap[rank >> 1]);
rank >>= 1;
}
}
inline void insert(long long k)
{
heap[++cnt] = k;
up(cnt);
}
inline void del()
{
swap(heap[1], heap[cnt]);
cnt --;
down();
}
long long ans[MAXN];long long num;
int main()
{
read(k);read(n);
for(int i = 1;i <= k;i ++)
{
read(p[i]);
}
heap[++cnt] = 1;
while(num <= n)
{
int tmp = heap[1];del();
if(ans[num] < tmp)
{
ans[++num] = tmp;
for(int i = 1;i <= k;i ++)
{
insert(tmp * p[i]);
}
}
}
printf("%lld", ans[n + 1]);
return 0;
}
另一种解法：
我们要找的ans[i] 要尽可能的接近ans[i - 1]
显然ans[i]是由素数集合p中某一个数与ans[j],j<i的乘积
证明：
令ans[i] = p[k] * M,k为任意数
如果M≠ans[j],则M < ans[j]
那么M一定会被计入到前j个丑数中
矛盾
这样我们定义s[i]表示用素数i乘ans[s[i]]最接近ans[i - 1]的ans下标s[i]
可以得到i - 1时的s[k] 一定 小于等于i时的s[k],k取任意数
所以s[j]可以从i-1过继到i的，然后去递增直到满足 “s[i]表示用素数i乘ans[s[i]]最接近ans[i - 1]的ans下标s[i]”
#include <bits/stdc++.h>
inline void read(long long &x){x = 0;char ch = getchar();while(ch > '9' || ch < '0'){ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();}
inline long long max(long long a, long long b){return a > b ? a : b;}
inline long long min(long long a, long long b){return a > b ? b : a;}
inline void swap(long long &a, long long &b){long long tmp = a;a = b;b = tmp;}
const long long INF = 0xfffffffffffffff;
const int MAXN = 1000000 + 10;
const int MAXK = 2000 + 10;
long long k,n,p[MAXK],ans[MAXN],s[MAXK];
int main()
{
read(k);read(n);
for(int i = 1;i <= k;i ++){
read(p[i]);
}
ans[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
ans[i] = INF;
for(int j = 1;j <= k;j ++)
{
while(p[j] * ans[s[j]] <= ans[i - 1])s[j] ++;
ans[i] = min(ans[i], p[j] * ans[s[j]]);
}
}
printf("%lld", ans[n]);
return 0;
}
