[skill] 补码

转载，写的很好！额，我的数学。

原文：https://www.douban.com/note/223507364/

 

关于补码，看过一些书籍和网文，基本都是在“求反加一”的方法、步骤上反复强调，而对于补码的本质和定义，讨论的不足。这就对初学者的造成了误导，使得很多人都纠结在－128的补码求取过程中。
关于反码和原码，大家都是在郑重其事的讲解，其实，学过的人都知道，它们的重要性是 0 ！
做而论道把自己对于补码的认识写在下面，但愿对读者有些帮助。

加法器
计算机里面，只有加法器，没有减法器，所有的减法运算，都必须用加法进行。
即：减去某个数字（或者说加上某个负数）的运算，都应该研究如何用加法来完成。

模、补数
在日常生活当中，可以看到很多这样的事情：
把某物体左转 90 度，和右转 270 度，在不考虑圈数的条件下，最终的效果是相同的；
把分针倒拨 20 分钟，和正拨 40 分钟，在不考虑时针的条件下，效果也是相同的；
把数字 87，减去 25，和加上 75，在不考虑百位数的条件下，效果也是相同的；
……。
上述几组数字，有这样的关系：
　　90 + 270 = 360
　　20 + 40 = 60
　　25 + 75 = 100
式中的 360、60 和 100，就是“模”。
式中的 90 和 270、20 和 40，以及 25 和 75，就是一对对“互补”的数字。

知道了“模”，求某个数字的“补数”，就是轻而易举的了：
如果模为 365，数字 120 的补数为：365 - 120 = 245。

用补数代替原数，可把减法转变为加法。出现的进位就是模，此时的进位，就应该忽略不计。

二进制数的模
前面说过的十进制数 25 和 75，它们是 2 位数的运算，模是 100，即 1 的后面加上 2 个 0。
如果有 3 位数参加运算，模就是 1000，即 1 的后面加上 3 个 0。
这里的 1000，是十进制数的一千，可以写成 10^3，即 10 的 3 次方。
推论：有多少位数参加运算，模就是在 1 的后面加上多少个 0。

对于二进制数字，模也是这样推算。
如果是 3 位二进制数参加运算，模就是 1000，即 1 的后面加上 3 个 0；
那么当 8 位二进制数参加运算，模就是 1 0000 0000，即 1 的后面加上 8 个 0。
16 位二进制数参加运算，模可就大了，是 1 的后面加上 16 个 0。
注意：这里提到的 1、0，都是二进制数。
8 位二进制数的模可以按照十进制写成 2^8，即 256。
16 位数二进制数的模，就是 2^16，按照十进制，它就是 65536。

二进制数的补码
求二进制数的补数，目的是往计算机里面存放。
在计算机里面，存放的数字什么的，都称为机器码；那么二进制形式的补数，也就改称为补码了。
一般情况下，都是以 8 位二进制数来讨论补码，少数也有用 16 位数的。

计算时加上正数，是不需要进行求取补数的；只有进行减法（或者加上负数），才需要对减数求补数。
补码就是按照这个要求来定义的：正数不变，负数即用模减去绝对值。

已知一个数 X，其 8 位字长的补码定义为：

　　　　　　/ X 0 <= X <= +127 ；正数和0的补码，就是该数字本身
 　[X]补 = |
　　　　　　\ 2^8 －|X| －128 <= X < 0 ；负数的补码，就是用 1 0000 0000，减去该数字的绝对值

例如 X = －126，其补码为 1000 0010，计算方法如下：

　　　　1 0000 0000
　　　－　0111 1110
　－－－－－－－－－－－
　　　　　1000 0010

可以看出，按照补码的定义来求补码，概念十分清晰，方法、步骤也是十分简单的。

应用补码进行计算
用补码计算：83－25＝58。

　　　　83　　－－－都变成补码，再用加法运算－－>　 0101 0011
　　－　25　　－> 1 0000 0000 - 0001 1001－> + 1110 0111
　－－－－－ 　　　　　　　　 －－－－－－－－
　　　　58　　<－－忽略进位1，结果就是正确的－－[1] 0011 1010

计算结果如果超出了－128～＋127的范围，结果将是错误的，这是没有办法纠正的。

应用补码进行计算，完全符合前面介绍的“用补数可把减法转换成加法”的做法，只要忽略进位（这个进位1，就是求补的时候，加进去的1 0000 0000中的1），结果就是正确的。

这些关于补数、补码的定义、方法、步骤，读者如果看懂了前面的文字，相信大家自己都可以总结出来。
那么为什么总有些网友要提出关于求取补码的问题呢？
在做而论道看来，就是因为很多教材和网文都在这个问题上“画蛇添足”。

关于补码的蛇足
补码出现后，后人又补充了不少“蛇足”：符号位、求反加一、原码、反码......。
下面的表格给出了一些 8 位数的补码。

 

－－符号位
从这个表格中，可以看出特点：正数的最高位都是0，负数的最高位都是1。
这样一来，有人就把最高位理解成了符号位。说什么是规定的用0代表正号，......。并且郑重其事的补充说明：“符号位也参加运算”。真能忽悠！卖拐、卖车的都甘拜下风。
其实，前面说过的 补数 和 补码的定义式 里面，根本就没有什么符号位。这最高位的1、0是自然出现的，并不是由人来规定的。
－－求反加一
负数补码的后面七位，也可以看出一个不完全的规律：它们和绝对值之间存在着“求反加一”的关系。
于是，又有人推出了这个不同于定义式的算法。
－－原码和反码
由于使用“求反加一”来求取补码，顺便又引出了 原码 和 反码 两个垃圾概念。

其实，“求反加一”的计算方法只是适用于计算二进制形式的补数，它并不是通用的。
并且把“求反加一”用于求－128的补码，有个溢出的现象，很多人都在这里被弄瘸了很长时间。
原码和反码也只不过是“人工”进行“求反加一”时的中间过程，在计算机里面根本是不存在的，它们也就没有丝毫用处。

做而论道的建议
求取补码，就按照定义的规定，负数采用“模减去绝对值”的方法来求，这是求补数的通用方法，适合于各种进制、各种大小的数字。
不要用求反加一的方法，也就不用理会原码和反码了，也不牵涉符号位的问题。
以后的计算，也就没有必要特殊说明：“符号位一起参加运算...”，因为根本就没有什么符号位。

如果把原码和反码、符号位等等垃圾概念，从计算机的书中删减掉，学习补码将会省力不少。