动态规划 之背包问题（九讲）
背包九讲
参考：AcWing题库
参考书目：背包九讲
1、01背包问题
- 题目描述：有 N 件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
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思路：动态规划，对于每一件物品遍历背包容量，当背包可容纳值大于等于当前物品，与之前已放进去的物品所得价值进行对比，考虑把是否需要置换。
- 状态转移方程：定义dp[i][j]：前i个物品，背包容量j下的最优解
-（1）当前背包容量不够，为前\(i-1\)个物品最优解：j<w[i]时，有dp[i][j]=dp[i-1][j]
-（2）当前背包容量够，判断选还是不选第i个物品：j>=w[i]时，选该物品->dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]；不选该物品->dp[i][j]=dp[i-1][j]
- 状态转移方程：定义dp[i][j]：前i个物品，背包容量j下的最优解
## 伪代码：
# for i=1..N
# for v=V..0
# f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
- \(\color{red}{代码实现-github}\)：0-1背包
2、完全背包问题
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题目描述：有 N 种物品和一个容量是 V的背包，每种物品都有无限件可用。第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。
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思路：
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思路1：最简单的想法，就是将完全背包转化为0-1背包问题，可以将第 i 种物品转化为W/w[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解0-1背包问题。
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思路2：更高效的转化方法是第 i 种物品拆成费用为w[i]2k，价值为v[i]*2k的若干件物品，其中k满足w[i]2^k<=W。因为不管最优策略 选几件第 i 种物品，总可以表示成若干个 2^k 件物品的和（二进制思想）
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思路3（完全背包优化）：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。c表物品重量，w表示对应物品价值。即将重量大且价值低的物品去掉。
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思路4（复杂度为O(VN)）： 0-1背包问题中要按照 w=W..0 的逆序来循环，而完全背包必须按照从小到大的顺序。这是因为 要保证第 i 次循环中的状态 f[i][w]是由状态 f[i-1][w-w[i]]递推而来。换句话 说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第 i 件物品”这件策 略时，依据的是一个绝无已经选入第 i 件物品的子结果 f[i-1][w-w[i]]。而现 在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第 i 种物 品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第 i 种物品的子结果 f[i][w-w[i]]， 所以就可以并且必须采用 w=0..W 的顺序循环。
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## 伪代码：
# for i=1...N
# for w=0...W
# f[w] = max(f[w], f[w-cost]+weight)
- \(\color{red}{代码实现-github}\)：完全背包
