Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framewor

Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framework^[1]

目录

• Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framework^[1]
  • 一、Introduction
  • 二、预备知识
  • 三、主要结论
  • 3.1. $G(W)$结构不平衡
    • 3.1.1. Case 1：不存在完全顽固个体（$0<{\theta }_i\le 1,\mathrm{\forall }i$）
    • 3.1.2. Case 2：存在完全顽固个体（${\theta }_i=0$）
  • 3.2. $G(W)$结构平衡
  • 3.3. 动态顽固性 $1-{\theta }_i^s$

一、Introduction

研究符号网络上一系列相关话题（路径依赖，话题的初始意见是上一个话题的收敛意见）的F-J模型

经典的加权平均模型(DeGroot)：

$$x_i(k+1)=\sum _{j=1}^n{w}_{ij}{x}_j(k),\sum _{j=0}^n{w}_{ij}=1,\mathrm{\forall }i.$$

F-J模型：

$$x_i(k+1)={\theta }_i\sum _{j=1}^n{w}_{ij}{x}_j(k)+(1-{\theta }_i)x_i(0),$$

模型：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x_i(s,k+1)={\theta }_i\sum _{j=1}^n{w}_{ij}{x}_j(s,k)+(1-{\theta }_i)\cdot x_i(s,0),\end{array}$$

${\theta }_i\in [0,1]$，fully stubborn ${\theta }_i=0$，partially stubborn $0<{\theta }_i<1$，non-stubborn ${\theta }_i=1$

路径依赖框架（path-dependence framework）

$$\begin{array}{}\text{(3)}& x_i(s+1,0)=x_i(s,+\mathrm{\infty })=\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_i(s,k),\end{array}$$

下面会证明对于每一个话题s，意见都收敛

将邻居区分为正负邻居且写成矩阵形式

$$\begin{array}{}\text{(2)}& x_i(s,k+1)={\theta }_i\sum _{j\in {\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{+}}}{w}_{ij}{x}_j(s,k)+{\theta }_i\sum _{j\in {\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{-}}}{w}_{ij}{x}_j(s,k)+(1-{\theta }_i)\cdot x_i(s,0),\end{array}$$

其中${\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{+}}=\{j|w_{ij}>0\}，{\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{-}}=\{j|w_{ij}<0\}.$

进一步写成

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x_i(s,k+1)={\theta }_i\sum _{j\in {\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{+}}}{w}_{ij}{x}_j(s,k)+{\theta }_i\sum _{j\in {\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{-}}}(-w_{ij})(-x_j(s,k))+(1-{\theta }_i)\cdot x_i(s,0),\end{array}$$

定义$x_i^{+}(s,k)=x_i(s,k)，x_i^{-}(s,k)=-x_i(s,k)$，(4)式可以写成

$$\begin{array}{}\text{(5a)}& x_i^{+}(s,k+1)=(1-{\theta }_i)\cdot x_i^{+}(s,0)+{\theta }_i\sum _{j\in {\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{+}}}{w}_{ij}{x}_j^{+}(s,k)+{\theta }_i\sum _{j\in {\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{-}}}(-w_{ij})x_j^{-}(s,k)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5b)}& x_i^{-}(s,k+1)=(1-{\theta }_i)\cdot x_i^{-}(s,0)+{\theta }_i\sum _{j\in {\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{+}}}{w}_{ij}{x}_j^{-}(s,k)+{\theta }_i\sum _{j\in {\mathcal{N}}_{\mathcal{i}}^{\mathcal{-}}}(-w_{ij})x_j^{+}(s,k)\end{array}$$

写成矩阵形式，定义$y^{+}(s,k)=[x_1^{+}(s,k),\dots ,x_n^{+}(s,k){]}^T，y^{-}(s,k)=[x_1^{-}(s,k),\dots ,x_n^{-}(s,k){]}^T，y(s,k)=[(y^{+}(s,k){)}^T,(y^{-}(s,k){)}^T{]}^T$.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& y(s,k+1)=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Xi }& 0\\ 0& \mathrm{\Xi }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}{W}^{+}& W^{-}\\ W^{-}& W^{+}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{y}^{+}(s,k)\\ y^{-}(s,k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{I}_n-\mathrm{\Xi }& 0\\ 0& I_n-\mathrm{\Xi }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{y}^{+}(s,0)\\ y^{-}(s,0)\end{array}\right],\end{array}$$

其中

$$\mathrm{\Xi }=diag\{{\theta }_i\},(W^{+}{)}_{ij}=\{\begin{array}{ll}{w}_{ij},& w_{ij}\ge 0\\ 0,& w_{ij}\le 0\end{array},(W^{-}{)}_{ij}=\{\begin{array}{ll}-w_{ij},& w_{ij}\le 0\\ 0,& w_{ij}\ge 0\end{array}$$

式(7)进一步可写成

$$\begin{array}{}\text{(8)}& z(s,k+1)=\left[\begin{array}{cc}{I}_{2n}& 0\\ \mathrm{\Lambda }& T\end{array}\right]\cdot z(s,k),\end{array}$$

其中$z(s,k)=[((y(s,0){)}^T,(y(s,k){)}^T){]}^T\in {\mathbb{R}}^{4n}，\mathrm{\Lambda }=I_2\otimes (I_n-\mathrm{\Xi })，T=(I_2\otimes \mathrm{\Xi })\bar{W}，\bar{W}=\left[\begin{array}{cc}{W}^{+}& W^{-}\\ W^{-}& W^{+}\end{array}\right]$。

显然矩阵$T$的代数性质影响节点的意见演变。为了得到矩阵$T$的代数性质，我们可以研究矩阵$W$以及网络$G(W)$与$G(T)$之间的联系。

中间辅助网络$G(\bar{W})$的节点集合$\bar{V}=\{1^{+},1^{-},\dots ,n^{+},n^{-}\}$.

二、预备知识

定义1：对于网络$G=(V,\zeta ,W)$，存在一个节点集合$V$的划分$\{V_1,V_2\}，V_1\cup V_2=V，V_1\cap V_2=\text{empty}$。权重矩阵$W$满足$w_{ij}\ge 0，\mathrm{\forall }i,j\in V_k$ 和 $w_{ij}\le 0,\mathrm{\forall }i\in V_{k_1},j\in V_{k_2},k_1\ne k_2$ ，则称网络$G$结构平衡，否则结构不平衡。

引理1：$G(W)$强连通，则

• $G(W)$结构平衡 $⟺$ $G(\bar{W})$非强连通，但由两个强连通部分组成

• $G(W)$结构不平衡 $⟺$ $G(\bar{W})$强连通

$proof:$

在网络$G(W)$中存在$i$到$j$的正边（$W_{ji}>0$） $⟺$ 在网络$G(\bar{W})$中存在$i^{+}$到$j^{+}$的边和$i^{-}$到$j^{-}$的边（${\bar{W}}_{ji}>0$，${\bar{W}}_{(j+n)(i+n)}>0$）

在网络$G(W)$中存在$i$到$j$的负边（$W_{ji}<0$） $⟺$ 在网络$G(\bar{W})$中存在$i^{+}$到$j^{-}$的边和$i^{-}$到$j^{+}$的边（${\bar{W}}_{(j+n)i}>0$，${\bar{W}}_{j(i+n)}>0$）

• $G(W)$结构平衡 $\Rightarrow$ $G(\bar{W})$非强连通，但由两个强连通部分组成

假设节点划分为$V_1=\{1,\dots ,m\},V_2=\{m+1,\dots ,n\}$，容易证明${\bar{V}}_1=\{1^{+},\dots ,m^{+},(m+1{)}^{-},\dots ,n^{-}\},{\bar{V}}_2=\{1^{-},\dots ,m^{-},(m+1{)}^{+},\dots ,n^{+}\}$之间不存在连边，且构成强连通部分。若${\bar{V}}_1,{\bar{V}}_2$存在连边，则$V_1,V_2$之间存在正边或者$V_i$中存在负边，与结构平衡矛盾。$G(W)$与$G({\bar{V}}_1)$ 拓扑结构相同，故$G({\bar{V}}_1)$强连通。

• $G(\bar{W})$非强连通，但由两个强连通部分组成 $\Rightarrow$ $G(W)$结构平衡

假设$G(\bar{W})$的两个强连通部分为${\bar{V}}_1,{\bar{V}}_2$，不妨假设$1^{+},\dots ,m^{+}$ 属于${\bar{V}}_1$，$(m+1{)}^{+},\dots ,n^{+}$属于${\bar{V}}_2$。可以证明$1^{-},\dots ,m^{-}$属于${\bar{V}}_2$，$(m+1{)}^{-},\dots ,n^{-}$属于${\bar{V}}_1$。否则，不失一般性，假设$1^{-}\in {\bar{V}}_1$，由$G({\bar{V}}_1)$强连通，存在$1^{+}$到$j^{+}$，$j^{+}$到$1^{-}$的路径$(j\in 2,\dots ,m)$，从而存在$1^{-}$到$j^{-}$，$j^{-}$到$1^{+}$的路径，既${\bar{V}}_1=\{1^{+},\dots ,m^{+},1^{-},\dots ,m^{-}\}$。同理${\bar{V}}_2=\{(m+1{)}^{-},\dots ,n^{-},(m+1{)}^{+},\dots ,n^{+}\}$。而${\bar{V}}_1$与${\bar{V}}_2$之间没有连边，与$G(W)$强连通矛盾。

• $G(\bar{W})$强连通 $\Rightarrow$$G(W)$结构不平衡

由$G(W)$结构平衡 $\Rightarrow$ $G(\bar{W})$非强连通易证。

• $G(W)$结构不平衡 $\Rightarrow$ $G(\bar{W})$强连通

$G(W)$结构不平衡 $⟺$ 存在一条$k$到$k$的负环。$\mathrm{\forall }i\ne j$，由于$G(W)$强连通，存在一条$i$到$j$的路径（假设为正路径）。从而$G(\bar{W})$存在$i^{+}$到$j^{+}$和$i^{-}$到$j^{-}$的路径，由于$G(W)$强连通和存在负环，存在一条$j$到$i$的负walk。相应的，$G(\bar{W})$存在$j^{+}$到$i^{-}$的walk，从而存在$i^{+}$到$j^{+},i^{-},j^{-}$的walk（路径），因此$G(\bar{W})$强连通。$◼$

假设 1：符号网络$G(W)$强连通；n个节点，至少存在一个节点部分顽固(partially stubborn, $0<{\theta }_i<1$)。

定义 2：模型(2)-(3)，如果对任意初始意见$x_i(0,0)$ ，$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_i(s,0)=c_i,\mathrm{\forall }i\in V$， 则称节点的意见在话题维度上渐进收敛。

引理：强连通的次随机矩阵谱半径小于1

proof：不失一般性，假设$\sum _{j=1}^n{w}_{i_{0}j}<1$，由于$i_0$是根节点，$(W^n{)}_{j{i}_0}>0,\mathrm{\forall }j$

$$\sum _{j=1}^n(W^{(n+1)}{)}_{ij}=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n(W^n{)}_{ik}{W}_{kj}=\sum _{k=1}^n(W^n{)}_{ik}\sum _{j=1}^n{W}_{kj}<\sum _{k=1}^n(W^n{)}_{ik}\le 1,$$

即矩阵$W^{(n+1)}$行和都小于1，$\rho (W^{(n+1)})<1$，又$\rho (W^{(n+1)})=(\rho (W){)}^{(n+1)}$，$\rho (W)<1$，证毕。$◼$

三、主要结论

3.1. $G(W)$结构不平衡

由引理1，$G(\bar{W})$强连通。

3.1.1. Case 1：不存在完全顽固个体（$0<{\theta }_i\le 1,\mathrm{\forall }i$）

$T=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Xi }& 0\\ 0& \mathrm{\Xi }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}{W}^{+}& W^{-}\\ W^{-}& W^{+}\end{array}\right]$，$\rho (T)<1$。从而有$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(T{)}^k=0,li{m}_{k\to \mathrm{\infty }}(\sum _{i=0}^k(T{)}^i=(I_{2n}-T{)}^{-1}$。显然，$G(T)$与$G(\bar{W})$拓扑结构相同。

(8)式得

$$z(s,k)=\left[\begin{array}{cc}{I}_{2n}& 0\\ (\sum _{i=0}^{k-1}{T}^i)\mathrm{\Lambda }& (T{)}^k\end{array}\right]\cdot z(s,0)\Rightarrow \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}z(s,k)=\left[\begin{array}{cc}{I}_{2n}& 0\\ (I_{2n}-T{)}^{-1}\mathrm{\Lambda }& 0\end{array}\right]\cdot z(s,0)$$

从而

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\begin{array}{c}{y}^{+}(s,k)\\ y^{-}(s,k)\end{array}\right]=(I_{2n}-T{)}^{-1}\cdot \mathrm{\Lambda }\cdot \left[\begin{array}{c}{y}^{+}(s,0)\\ y^{-}(s,0)\end{array}\right]\end{array}$$

Remark 1：定义$\Phi =(I_{2n}-T)^{-1}\cdot\Lambda $\mathrm{为}\mathrm{话}\mathrm{题}\mathrm{转}\mathrm{移}\mathrm{矩}\mathrm{阵}，\mathrm{易}\mathrm{得}$\Phi$\mathrm{为}\mathrm{行}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{矩}\mathrm{阵}。\mathrm{由}\mathrm{于}$G(T)$\mathrm{强}\mathrm{连}\mathrm{通}，$(I_{2n}-T)^{-1}$\mathrm{为}\mathrm{正}\mathrm{矩}\mathrm{阵}。\mathrm{下}\mathrm{面}\mathrm{分}\mathrm{类}\mathrm{讨}\mathrm{论}\mathrm{矩}\mathrm{阵}$\Lambda$。

Subcase 1(a)：所有个体部分顽固（$0<{\theta }_i<1,\mathrm{\forall }i$）

$\mathrm{\Phi }$为正矩阵，从而矩阵$\mathrm{\Phi }$是SIA^[2]，即存在一个非负列向量$v=[v_1,\dots ,v_{2n}{]}^T$满足$\sum _{i=1}^{2n}{v}_i=1$，使得$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathrm{\Phi }{)}^s=1_{2n}\cdot v^T$。则

$$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}y(s,0)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}[\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}y(s-1,k)]=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}[(\mathrm{\Phi }{)}^s\cdot y(0,0)]=1_{2n}\cdot v^T\cdot \left[\begin{array}{c}{y}^{+}(0,0)\\ y^{-}(0,0)\end{array}\right]$$

由于$y^{+}(s,k)=-y^{-}(s,k)$，故$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}y(s,0)=0$。

Subcase 1(b)：存在$n_0$个非顽固个体（${\theta }_i=1$）

通过转置可得

$$\mathrm{\Phi }=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_{11}& 0\\ {\mathrm{\Phi }}_{21}& 0\end{array}\right],{\mathrm{\Phi }}_{11}\in {\mathbb{R}}^{(2n-2n_0)\times (2n-2n_0)},{\mathrm{\Phi }}_{21}\in {\mathbb{R}}^{2n\times (2n-2n_0)}$$

$(I_{2n}-T{)}^{-1}$为正矩阵 $\Rightarrow$ ${\mathrm{\Phi }}_{11},{\mathrm{\Phi }}_{21}$为正矩阵。同理存在一个非负列向量$\overline{v}=[{\overline{v}}_1,\dots ,{\overline{v}}_{2n-2n_0}{]}^T$满足$\sum _{i=1}^{2n-2n_0}{\overline{v}}_i=1$，使得$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}({\mathrm{\Phi }}_{11}{)}^s=1_{2n-2n_0}\cdot {\overline{v}}^T$

$$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathrm{\Phi }{)}^s=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\begin{array}{cc}({\mathrm{\Phi }}_{11}{)}^s& 0\\ {\mathrm{\Phi }}_{21}({\mathrm{\Phi }}_{11}{)}^{s-1}& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{1}_{2n-2n_0}{\overline{v}}^T& 0\\ 1_{2n_0}{\overline{v}}^T& 0\end{array}\right]$$

Remark 2：Case 1情况下，不管是否存在非顽固个体(${\theta }_i=1$)，当$s\to \mathrm{\infty }$意见都渐进收敛到零

3.1.2. Case 2：存在完全顽固个体（${\theta }_i=0$）

引理 2：$G(W)$强连通且结构不平衡，$V_f=\{1,2,\dots ,n_1\}$。则$S_{G(T)}={\bar{V}}_f=\{1^{+},1^{-},\dots ,n_1^{+},n_1^{-}\}$，特别地，$\mathrm{\forall }{j}^{\ast }\in \bar{V}-S_{G(T)}$，存在一条$i^{\ast }\in S_{G(T)}$到$j^{\ast }$的路径。

$proof:$

显然在网络$G(T)$中的完全顽固个体集合${\bar{V}}_f=\{1^{+},1^{-},\dots ,n_1^{+},n_1^{-}\}$ 。$T=(I_2\otimes \mathrm{\Xi })\bar{W}$ $\Rightarrow$ ${\bar{V}}_f\subseteq S_{G(T)}$；若存在$i_0^{\ast }\in S_{G(T)},i_0^{\ast }\notin {\bar{V}}_f$，由于${\theta }_{i_0^{\ast }}\ne 0$ ，在$G(W)$中存在的入边，在$G(T)$中也存在，与$i_0^{\ast }$是源节点矛盾。

$\mathrm{\forall }{j}^{\ast }\in \bar{V}-S_{(G(T))}$，由$G(\bar{W})$的强连通性，存在一条$i^{\ast }\in {\bar{V}}_f$到$j^{\ast }$的路径$P_{j^{\ast }{i}^{\ast }}=\{(i^{\ast },i_1^{\ast }),(i_1^{\ast },i_2^{\ast }),\dots ,(i_l^{\ast },j^{\ast })\}$，其中$i_k^{\ast }\notin {\bar{V}}_f,\mathrm{\forall }k\in \{1,2,\dots ,l\}$。因此，路径$P_{j^{\ast }{i}^{\ast }}$在$G(T)$中也存在，证毕。$◼$

不失一般性，假设$V_f=\{1,2,\dots ,n_1\}$为完全顽固个体集合，$G(T)$相当于在$G(\bar{W})$的基础上删除一些节点所有的入边。引理2给出$G(T)$的拓扑性质。

由引理2可知，$G(T)$存在$2n_1$个源节点，且对任意的非源节点，存在一条某个源节点到其的路径。从而通过转置，矩阵$T$可写成

$$T=\left[\begin{array}{c}\mathbf{0}\\ T_{21}& T_{22}\\ ⋮& ⋮& \ddots \\ T_{g1}& T_{g2}& \cdots & T_{gg}\end{array}\right]$$

$T_{ii}$不可约，下证$\rho (T)<1$，

由引理2可知，对任意的非源节点$j\in \{n_1+1,\dots ,n\}$，存在某个源节点$i\in \{1,\dots ,n_1\}$，存在一条路径$i$到$j$，从而$(T^n{)}_{ji}>0$，即$T_{k1}^{\ast }$每一行都存在非零元素，从而$(T_{kk}{)}^n$是严格的次随机矩阵，$\rho (T^n)<1$，$\rho (T)<1$。

$$T^n=\left[\begin{array}{c}\mathbf{0}\\ T_{21}^{\ast }& (T_{22}{)}^n\\ ⋮& ⋮& \ddots \\ T_{g1}^{\ast }& T_{g2}^{\ast }& \cdots & (T_{gg}{)}^n\end{array}\right]$$

记

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \mathrm{\Phi }=(I_{2n_1}-T{)}^{-1}\cdot \mathrm{\Lambda }=(\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^i)\cdot \mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{c}{I}_{2n}\\ {\mathrm{\Phi }}_{21}& {\mathrm{\Phi }}_{22}\\ ⋮& ⋮& \ddots \\ {\mathrm{\Phi }}_{g1}& {\mathrm{\Phi }}_{g2}& \cdots & {\mathrm{\Phi }}_{gg}\end{array}\right]\end{array}$$

其中$\rho ({\mathrm{\Phi }}_{ii})<1$，$\rho (\mathrm{\Phi })=1$且模等于1的特征值（此处只有1）的代数重数等于几何重数（行随机矩阵特征值1的几何重数等于代数重数），故${\mathrm{\Phi }}^{\ast }=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathrm{\Phi }{)}^s$存在。

记

$$\begin{array}{}\text{(19)}& (\mathrm{\Phi }{)}^s=\left[\begin{array}{c}{I}_{2n_1}\\ (\mathrm{\Phi }{)}_{21}^s& (\mathrm{\Phi }{)}_{22}^s\\ ⋮& ⋮& \ddots \\ (\mathrm{\Phi }{)}_{g1}^s& (\mathrm{\Phi }{)}_{g2}^s& \cdots & (\mathrm{\Phi }{)}_{gg}^s\end{array}\right]\end{array}$$

下面引理3给出了${\mathrm{\Phi }}^{\ast }$的具体形式

引理 3：$G(W)$强连通且结构不平衡，完全顽固节点集合$V_f=\{1,2,\dots ,n_1\}$，则${\mathrm{\Phi }}^{\ast }$行随机且

$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\mathrm{\Phi }}^{\ast }=\left[\begin{array}{c}{I}_{2n_1}\\ ({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{21}& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots \\ ({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{g1}& 0& \cdots & 0\end{array}\right]\end{array}$$

其中$({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{i1}=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathrm{\Phi }{)}_{i1}^s,i\in \{2,\dots ,g\}$.

$proof:$

$\rho ({\mathrm{\Phi }}_{ii}<1)$ $\Rightarrow$ $({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{ii}=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathrm{\Phi }{)}_{ii}^s=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}({\mathrm{\Phi }}_{ii}{)}^s=0$

下面考虑$(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-1)}^s,i\in \{3,\dots ,g\}$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& (\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-1)}^{s+1}=(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-1)}^s{\mathrm{\Phi }}_{(i-1)(i-1)}+(\mathrm{\Phi }{)}_{ii}^s{\mathrm{\Phi }}_{i(i-1)}\end{array}$$

取极限

$$\begin{array}{}\text{(23)}& (\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-1)}^{\ast }=(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-1)}^{\ast }{\mathrm{\Phi }}_{(i-1)(i-1)}+0\cdot {\mathrm{\Phi }}_{i(i-1)}\end{array}$$

得$(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-1)}^{\ast }(I-{\mathrm{\Phi }}_{(i-1)(i-1)})=0$，$\rho ({\mathrm{\Phi }}_{(i-1)(i-1)})<1$ $\Rightarrow$ $(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-1)}^{\ast }=0$

进一步考虑$(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-2)}^s$

$$\begin{array}{}\text{(24)}& (\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-2)}^{s+1}=(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-2)}^s{\mathrm{\Phi }}_{(i-2)(i-2)}+(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-1)}^s{\mathrm{\Phi }}_{(i-1)(i-2)}+(\mathrm{\Phi }{)}_{ii}^s{\mathrm{\Phi }}_{i(i-2)}\end{array}$$

取极限类似可得$(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-2)}^{\ast }(I-{\mathrm{\Phi }}_{(i-2)(i-2)})=0$，$\rho ({\mathrm{\Phi }}_{(i-2)(i-2)})<1$ $\Rightarrow$ $(\mathrm{\Phi }{)}_{i(i-2)}^{\ast }=0$

递归可得$({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{ij}=0,\mathrm{\forall }i\in \{3,\dots ,g\},j\in \{2,\dots ,i-1\}$，证毕。$◼$

记$M=max\{x_1^{+}(0,0),x_1^{-}(0,0),\dots ,x_{n_1}^{+}(0,0),x_{n_1}^{-}(0,0)\},m=min\{x_1^{+}(0,0),x_1^{-}(0,0),\dots ,x_{n_1}^{+}(0,0),x_{n_1}^{-}(0,0)\}$,则$M=-m$.

对于Case2，完全顽固节点的意见不变，其他节点的意见收敛于区间$[m,M]$。

定理 1：考虑模型(2)-(3)，网络$G(W)$强连通且结构不平衡，假设1成立，则

1. 如果不存在完全顽固的个体，当话题趋于无穷时，节点意见趋于0。
2. 如果存在完全顽固个体$V_f=\{1,2,\dots ,n_1\}$，当话题趋于无穷时，完全顽固个体意见不变，其他节点意见收敛于$[m,M]$。

下面推论1指出，在结构不平衡条件下意见二分一致的充要条件。

推论 1：考虑模型(2)-(3)，网络$G(W)$强连通且结构不平衡，假设1成立。节点意见二分一致当且仅当存在一个唯一的完全顽固的平衡节点，节点$i$是平衡的指$i$到$j$的所有路径符号相等。

$proof:$

充分性：不失一般性，假设节点1是唯一的完全顽固的平衡节点，由引理2，$S_{G(T)}={\bar{V}}_f=\{1^{+},1^{-}\}$。$G(\bar{W})$删除节点$1^{+}$和$1^{-}$的所有入边就得到$G(T)$。$\mathrm{\forall }i\ne 1$，记号$i^{\ast },i^{-\ast }$定义为

$$i^{\ast }=\{\begin{array}{ll}{i}^{+},& SG{N}_{p_{i1}}(G(W))=1\\ i^{-},& SG{N}_{p_{i1}}(G(W))=-1\end{array}$$

$$i^{-\ast }=\{\begin{array}{ll}{i}^{-},& SG{N}_{p_{i1}}(G(W))=1\\ i^{+},& SG{N}_{p_{i1}}(G(W))=-1\end{array}$$

下证由节点集${\bar{V}}^{+}=\{1^{+}\}\cup {\tilde{V}}^{+}$和 ${\bar{V}}^{-}=\{1^{+}\}\cup {\tilde{V}}^{-}$构成两个不相交且包含生成树的子网络$G^{+},G^{-}$，${\tilde{V}}^{+}=\{2^{\ast },\dots ,n^{\ast }\},{\tilde{V}}^{-}=\{2^{-\ast },\dots ,n^{-\ast }\}$。

$G(W)$强连通，对任意的节点$i\ne 1$，存在1到$i$的路径，根据引理2，$G(T)$中存在$1^{+}$到$i^{\ast }$和$1^{-}$到$i^{-\ast }$的路径，从而$G^{+}(G^{-})$包含根节点为$1^{+}(1^{-})$的生成树。

假设$G^{+}$与$G^{-}$之间存在连边：

case i：存在节点$1^{+}(1^{-})$到节点$i^{-\ast }(i^{\ast })$的连边。不失一般性，假设$i^{-\ast }=i^{+}$，即$SG{N}_{p_{i1}}(G(W))=-1$。由于$G(T)$中存在$1^{+}$到$i^{+}$的连边，从而$G(W)$中存在$1$到$i$的正边，与$SG{N}_{p_{i1}}(G(W))=-1$矛盾。

case ii：存在节点$i^{\ast }$到节点$j^{-\ast }$的连边。不失一般性，假设$i^{\ast }=i^{-},j^{-\ast }=j^{-}$，即$SG{N}_{p_{i1}}(G(W))=-1,SG{N}_{p_{j1}}(G(W))=1$。由引理1，存在$i^{-}$到$j^{-}$的连边 $⟺$ 存在$i$到$j$的正边，$w_{ji}>0$。又$SG{N}_{p_{i1}}(G(W))=-1$，可得$SG{N}_{p_{j1}}(G(W))=-1$，矛盾。

通过转置变换，矩阵$T=I_2\otimes \bar{T}$

$$\begin{array}{}\text{(27)}& \bar{T}=\left[\begin{array}{c}0\\ {\bar{T}}_{21}& {\bar{T}}_{22}\\ ⋮& ⋮& \ddots \\ {\bar{T}}_{\overline{g}1}& {\bar{T}}_{\overline{g}2}& \cdots & {\bar{T}}_{\overline{g}\overline{g}}\end{array}\right]\end{array}$$

同理于定理1的Case2的，${\bar{V}}^{+}$中节点收敛于完全顽固节点$1^{+}$的意见，${\bar{V}}^{-}$中节点收敛于完全顽固节点$1^{-}$的意见，即节点意见二分一致。

必要性：假设意见二分一致。首先证明存在唯一的完全顽固节点，如果不存在完全节点，由定理1的Case1可知意见收敛于零，矛盾；由于完全顽固节点的意见不变，故完全顽固节点的个数小于2。

假设顽固节点1是不平衡的，即存在某个节点$i_0$和1到$i_0$的两条长度为$k_1,k_2$的路径$P_1,P_2$，使得$SG{N}_{P_1}(G(W))=1,SG{N}_{P_2}=-1$。从而$(T^{k_1}{)}_{i_{o}1}>0,(T^{k_2}{)}_{i_0(1+n)}>0$。

又$\mathrm{\Phi }=(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }})T^k\cdot \mathrm{\Lambda }$，从而${\mathrm{\Phi }}_{i_{0}1}>0,{\mathrm{\Phi }}_{i_0(1+n)}$。

$$\begin{array}{}\text{(29)}& ({\mathrm{\Phi }}^2{)}_{i_{0}1}=\sum _{k=1}^{2n}(\mathrm{\Phi }{)}_{i_{0}k}(\mathrm{\Phi }{)}_{k1}\ge (\mathrm{\Phi }{)}_{i_{0}1}(\mathrm{\Phi }{)}_{11}=(\mathrm{\Phi }{)}_{i_{0}1},\end{array}$$

递归可得$({\mathrm{\Phi }}^s{)}_{i_{0}1}\ge (\mathrm{\Phi }{)}_{i_{0}1}>0,({\mathrm{\Phi }}^s{)}_{i_0(1+n)}\ge (\mathrm{\Phi }{)}_{i_0(1+n)}>0$。由引理3可得

$$\begin{array}{}\text{(30)}& \{\begin{array}{l}({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{i_{0}1}=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}({\mathrm{\Phi }}^s{)}_{i_{0}1}>0,\\ ({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{i_0(1+n)}=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}({\mathrm{\Phi }}^s{)}_{i_0(1+n)}>0,\\ ({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{i_{0}k}=0,k\ne 1,n+1\end{array}\end{array}$$

其中$({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{i_{0}1}+({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{i_0(1+n)}=1$。

$$\begin{array}{}\text{(31)}& \underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{i_0}(s,0)=[({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{i_{0}1}-({\mathrm{\Phi }}^{\ast }{)}_{i_0(1+n)}]\cdot x_1(0,0)\in (-|x_1(0,0)|,|x_1(0,0)|)\end{array}$$

与意见二分一致矛盾。证毕。$◼$

3.2. $G(W)$结构平衡

$G(W)$结构平衡，即存在节点集合划分$V_1=\{1,\dots ,n_1\},V_2=\{n_1+1,\dots ,n\}$。根据引理1，$G(\bar{W})$由两个不相交的强连通部分组成，${\bar{V}}_1=\{1^{+},\dots ,n_1^{+},(n_1+1{)}^{-},\dots ,n^{-}\},V_2=\{1^{-},\dots ,n_1^{-},(n_1+1{)}^{+},\dots ,n^{+}\}$。对$V_1$应用定理1可得

定理 2：考虑模型(2)-(3)，网络$G(W)$强连通且结构平衡，假设1成立，则

1. 如果不存在完全顽固的个体，当话题趋于无穷时，节点意见二分一致。
2. 如果存在完全顽固个体$V_{f_1}=\{1,2,\dots ,n_{f_1}\}$，当话题趋于无穷时，完全顽固个体意见不变，其他节点意见收敛于$[m_f,M_f]$，$M_f=max(x_1(0,0),\dots ,x_{n_{f_1}}(0,0),-x_{n+1}(0,0),\dots ,-x_{n_{f_1}+n}(0,0))$，$m_f=min(x_1(0,0),\dots ,x_{n_{f_1}}(0,0),-x_{n+1}(0,0),\dots ,-x_{n_{f_1}+n}(0,0))$，特别地，如果只有一个完全顽固个体，意见二分一致。

3.3. 动态顽固性 $1-{\theta }_i^s$

$$\begin{array}{}\text{(32)}& x_i(s,k+1)={\theta }_i^s\sum _{j=1}^n{w}_{ij}{x}_j(s,k)+(1-{\theta }_i^s)\cdot x_i(s,0),\end{array}$$

引理 4：$G(W)$强连通且结构不平衡，在话题$s_0$中所有节点都是部分顽固的$0<{\theta }_i^{s_0}<1$。则矩阵${\mathrm{\Phi }}_{s_0}=(I_{2n}-T_{s_0}{)}^{-1}\cdot {\mathrm{\Lambda }}_{s_0}$存在，元素都为正，

$T_{s_0}=(I_2\otimes {\mathrm{\Xi }}_{s_0})\bar{W},{\mathrm{\Lambda }}_{s_0}=I_2\otimes (I_n-{\mathrm{\Xi }}_{s_0})$。

假设 2：对任意的话题$s$，存在至少一个节点是部分顽固的。存在一个主题子序列$\{s_k\}$和正整数$\tau$ ，使得对任意的$s_k$满足${\theta }_i^{s_k}\in (0,1),\mathrm{\forall }i\in V$，$s_{(k+1)}-s_k<\tau$。

定理 3：考虑模型(32)和(3)。假设${\theta }_i^s\in \mathrm{\Omega }\subset [0,1],|\mathrm{\Omega }|<\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }i,s$，$G(W)$强连通和结构不平衡，假设2成立，则意见渐进收敛到零。

$proof:$

$y(s+1,0)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}y(s,k)={\mathrm{\Phi }}_s\cdot y(s,0),\mathrm{\forall }s,y(s,0)=[(y^{+}(s,0){)}^T,(y^{-1}(s,0){)}^T{]}^T$.

对子序列$\{y(s_k,0)\}$有

$$\begin{array}{}\text{(34)}& \{\begin{array}{ll}y(s_1,0)& ={\mathrm{\Phi }}_{s_1-1}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{s_1-2}\cdots {\mathrm{\Phi }}_0\cdot y(0,0),\\ y(s_2,0)& ={\mathrm{\Phi }}_{s_2-1}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{s_2-2}\cdots {\mathrm{\Phi }}_{s_1}\cdot y(s_1,0),\\ & ⋮\\ y(s_k,0)& ={\mathrm{\Phi }}_{s_k-1}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{s_k-2}\cdots {\mathrm{\Phi }}_{s_{k-1}}\cdot y(s_{k-1},0),\\ & ⋮\end{array}\end{array}$$

定义$H_k={\mathrm{\Phi }}_{s_k-1}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{s_k-2}\cdots {\mathrm{\Phi }}_{s_{k-1}}$。显然$H_k$是正矩阵。$H_k$是SIA.

$${\mathrm{\Phi }}_s=(I_{2n}-T_s{)}^{-1}\cdot {\mathrm{\Lambda }}_s=\{I_{2n}-\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Xi }}_s{W}^{+}& {\mathrm{\Xi }}_s{W}^{-}\\ {\mathrm{\Xi }}_s{W}^{-}& {\mathrm{\Xi }}_s{W}^{+}\end{array}\right]\}\cdot \left[\begin{array}{cc}{I}_n-{\mathrm{\Xi }}_s& \\ & I_n-{\mathrm{\Xi }}_s\end{array}\right]$$

由于$|\mathrm{\Omega }|<\mathrm{\infty }$，$H_k$的个数也是有限的。从而由引理3.2

得$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\{H_k\cdot H_{k-1}\cdots H_2\}=1_{2n}\cdot v^T$ $\Rightarrow$ $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}y(s_k,0)=1_{2n}\cdot v^T\cdot y(s_1,0)$.注意到$y^{+}(s,0)=-y^{-}(s,0)$，故$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}y(s_k,0)=0$。

对于任意得$s$，存在$s_k\le s\le s_{k+1}$，$y(s,0)={\mathrm{\Phi }}_{s-1}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{s-2}\cdots {\mathrm{\Phi }}_{s_k}\cdot y(s_k,0)$

$$\begin{array}{ll}\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert y(s,0){\Vert }_{\mathrm{\infty }}& =\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert {\mathrm{\Phi }}_{s-1}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{s-2}\cdots {\mathrm{\Phi }}_{s_k}\cdot y(s_k,0){\Vert }_{\mathrm{\infty }}\\ & \le \underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert {\mathrm{\Phi }}_{s-1}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\cdots \Vert {\mathrm{\Phi }}_{s_k}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\cdot \Vert y(s_k,0){\Vert }_{\mathrm{\infty }}\\ & \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert y(s_k,0){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathbf{0}\in {\mathbb{R}}^{2n}\end{array}$$

证毕。$◼$

对于结构平衡的情况，可以类似得到

---

1. Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation-competition networks based on path-dependence framework ↩︎

2. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies ↩︎