竞赛图相关

性质

性质一：

竞赛图的强连通分量构成一个链状结构（任意两 $S C C$ 间都有边）

性质二：

一个竞赛图如果是强连通的，那么必然存在一条哈密顿回路，并且可以在 $O (V^{2})$ 的时间内找到

证明：数学归纳法
只有一个点时肯定成立
拆掉多的那个点，由于强连通，这个点必然能把剩下的哈密顿路径接起来

推论1：翻转不在哈密顿路径上的边不会影响原竞赛图强连通分量个数
推论2：翻转哈密顿路径上的边，增加的强连通分量个数等于删掉这条边后，形成的哈密顿路径上没被反向边覆盖的边数

性质三

一个竞赛图是强连通图等价于将出度序列排序，不存在长度为 $i (1 \leq i < M)$ 的前缀，其和为 $i \cdot (i - 1)$

证明:由性质一推得

性质四：

当 $n \geq 4$ 时， $n$ 个点的强连通竞赛图一定有一个 $n - 1$ 个点的导出子图，满足他也是强连通竞赛图

证明:根据性质一简单分讨删掉一个点的情况可得

性质五：

当 $n > 6$ 时， $n$ 个点的竞赛图可以通过至多一次翻转连接某个点的所有边，使得竞赛图强连通

证明：
情况1：存在一个大小 $\geq 4$ 的强连通分量。则由性质二，我们可以找到一个点 $t$ ，满足去掉 $t$ 后这个强连通分量仍然强连通。又因为 $t$ 到这个强连通分量中所有点的边方向一定不完全相同，所以我们对 $t$ 进行一次翻转操作后，这个强连通分量仍然是强连通的。而在操作后，可以发现，这个强连通分量现在可以到达所有强连通分量，也可以从所有强连通分量到达，于是整个图强连通。
情况2：存在至少三个强连通分量，在中间的强连通分量中任意取一个点进行操作。操作后每个点都可以先走到最后一个强连通分量，然后通过中间这个点走到第一个强连通分量，进而到达所有点。