莫比乌斯函数学习笔记

莫比乌斯函数学习笔记

莫比乌斯环是非常重要的

莫比乌斯函数是数论中重要内容，所以搞懂它很重要！！！

定义

设 \(x=\prod\limits_{i=1}^c p_i^{k_i}\)，其中 \(p_i\) 为质数。

\[\mu(x)=\begin{cases} 1&x=1\\(-1)^c&\prod\limits_{i=1}^c k_i=1\\0& \max\limits_{i=1}^c k_i>1 \end{cases}\]

翻译成人话就是说，\(\mu(1)=1\)，如果 \(x\) 中有平方因子，那么 \(\mu(x)=0\)，否则 \(\mu(x)\) 的值由 \(x\) 中质因子数量奇偶决定。

这个定义其实很简单，然而莫比乌斯函数最重要的是它特殊的性质，我们来看看他有什么性质。

性质

1. \(\mu\) 是一个积性函数
2. \(\mu\ast 1= \varepsilon\)

证明网上遍地都是，自己搜，懒得写了

莫比乌斯反演

定义

如果我们有 \(f=g\ast 1\)，那么 \(g=f\ast \mu\)

证明

\[\begin{aligned} f=g\ast 1\\f\ast \mu=g\ast\mu\ast \\g\ast\varepsilon=f\ast \mu\\g=f\ast \mu\\&\square \end{aligned}\]

其实莫比乌斯函数和莫比乌斯反演简单的很，就是狄利克雷卷积的一个应用，我们做题时经常会用到 \(\mu\) 本身定义和 \(\mu\ast 1=\varepsilon\) 这个性质。