XM6138 分糖果（线段树）

XM6138 分糖果

stO jc Orz

解题思路

很神奇的一题。

看到题目首先想到的就是二分答案。那么问题转化为了如何验证一个答案 \(x\)。

我们定义函数 \(f_{i,j}\) 表示考虑前 \(i\) 个小朋友，是否可以分成 \(j\) 段，使得每一段都满足和小于 \(x\)。这个函数很好转移：

\[f_{i,j}\leftarrow f_{k,j-1}\ \ sum_i-sum_k\leq x \]

其中 \(sum\) 表示前缀和。

目前转移是 \(O(n^3)\) 的，需要优化。那么我们以 \(sum_i\) 为关键字进行排序，构建线段树快速找出 \(k\) 这一维，使得 DP 复杂度来到了 \(O(n^2 \log n)\)。

但是这还远远不够，我们还有一个二分的 \(\log\)。我们通过观察可以发现，满足 \(f_{i,j}=1\) 的 \(j\) 一定实际一个连续的区间。那么我们在线段树上维护满足条件的 \(j\) 的区间即可。最终总时间复杂度为 \(O(n\log^2 n)\)。

现在问题就是，为什么 \(j\) 一定是连续的？在讨论后，我们把问题扔给了 IOI 金牌 jc，然后被秒了（

\(x\leq 0\) 时显然，那 \(x>0\) 时呢？我们可以假设 \(j=x,x+2\) 时成立，那么我们通过容斥发现，\(j=x+1\) 一定成立。至于如何容斥的，读者自证不难。

代码

代码很简单。

//Don't act like a loser.
//This code is written by huayucaiji
//You can only use the code for studying or finding mistakes
//Or,you'll be punished by Sakyamuni!!!
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int read() {
	char ch=getchar();
	int f=1,x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') {
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}
char read_char() {
	char ch=getchar();
	while(!isalpha(ch)) {
		ch=getchar();
	}
	return ch;
}

const int MAXN=2e4+10; 

int n,k,m;
int a[MAXN],sum[MAXN],b[MAXN],idx[MAXN];

struct seg {
	int l,r;
}s[MAXN<<2];

seg pushup(seg lft,seg rgt) {
	seg ret=s[0];
	ret.l=min(lft.l,rgt.l);
	ret.r=max(lft.r,rgt.r);
	return ret;
}

void build(int l,int r,int p) {
	s[p].l=1e9;
	s[p].r=-1e9;
	if(l==r) {
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,p<<1);
	build(mid+1,r,p<<1|1);
}
void modify(int l,int r,int p,int x,int v1,int v2) {
	if(x<l||r<x) {
		return ;
	}
	if(l==r) {
		s[p].l=min(s[p].l,v1);
		s[p].r=max(s[p].r,v2);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	modify(l,mid,p<<1,x,v1,v2);
	modify(mid+1,r,p<<1|1,x,v1,v2);
	s[p]=pushup(s[p<<1],s[p<<1|1]);
}
seg query(int l,int r,int p,int x,int y) {
	if(x<=l&&r<=y) {
		return s[p];
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(y<=mid) {
		return query(l,mid,p<<1,x,y);
	}
	if(mid<x) {
		return query(mid+1,r,p<<1|1,x,y);
	}
	return pushup(query(l,mid,p<<1,x,y),query(mid+1,r,p<<1|1,x,y));
}

bool check(int x) {
	build(1,m,1);
	modify(1,m,1,idx[0],0,0);
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int p=lower_bound(b+1,b+m+1,sum[i]-x)-b;
		if(p>m) {
			continue;
		}
		seg res=query(1,m,1,p,m);
		res.l++;res.r++;
		if(i==n-1) {
			if(res.l<=k&&k<=res.r) {
				return 1;
			}
			else {
				return 0;
			}
		}
		modify(1,m,1,idx[i],res.l,res.r);
	}
	return 0;
}

int main() {
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		a[i]=read();
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
		b[i]=sum[i];
	}
	
	n++;
	b[n]=0;
	sort(b+1,b+n+1);
	m=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
	for(int i=0;i<n;i++) {
		idx[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,sum[i])-b;
	}
	
	int l=-1e9,r=1e9;
	while(l+1<r) {
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) {
			r=mid;
		}
		else {
			l=mid;
		}
	}
	if(check(l)) {
		cout<<l<<endl;
	}
	else {
		cout<<r<<endl;
	}
	
	return 0;
}