LG3630 [APIO2010]信号覆盖（计算几何）

LG3630 [APIO2010]信号覆盖

前言

南海都有网络了，怎么北京还要覆盖信号啊

好久以前做的计算几何题了，回来复盘一下。

解法

首先，题目中各有一个条件很重要：

保证任何三个房子都不在同一条直线 上，任何四个房子都不在同一个圆上。

翻译一下，没有四点共圆，没有三点共线。

我们做这道题依赖于这个条件。

首先对于 \(A,B,C\) 三个点作的外接圆，一定覆盖这三个点，对于任何一个圆都是如此。那我们的答案可以表示为：

\[ans=\frac{sum}{C_n^3}+3 \]

其中，\(C^3_n\) 是圆的总数，而 \(sum\) 是所有圆圆内的点的数的总和。

问题就转化为，如何求 \(sum\) 呢？

正难则反。

我们可以算每个点在多少个圆内部，对于第 \(i\) 个点，这个值我们记为 \(f_i\)。那么 \(sum=\sum\limits_{i=1}^n f_i\)。这样，我们就要考虑确定圆的三个点和点 \(i\)，也就是四个点。因此我们考虑这四个点组成的四边形。

如果组成凸四边形。 则如下图：

由于没有四点共圆的情况，一定没有对角和为 \(180\) 的可能。那么以 \(A,D,C\) 作圆，一定能覆盖 \(C\)，以 \(D,C,B\) 作圆，一定覆盖 \(A\)。所以一个凸四边形对 \(sum\) 做 \(2\) 的贡献。

如果组成凹四边形。 则如下图：

显然，只有以 \(C,B,D\) 作圆才能覆盖 另一个点 \(A\)，因此一个凹四边形对 \(sum\) 的贡献是 \(1\)。

问题再次被我们转化，变为有多少个凸四边形，多少凹四边形。设他们的数量分别为 \(x,y\)。我们有：

\[x+y=C_n^4 \]

我们到底是求 \(x\)，还是求 \(y\) 呢？

由于

\[sum=2x+y=C_n^4+x \]

我们只需要求出凸多边形数量 \(x\) 即可。

但是，真的是这样做吗？我们发现这样做其实很难。

凹四边形的数量会比凸四边形数量好求得多。呵呵

如果你仔细想想，就会发现，每个凹四边形都有一个凹角，所以我们要求出凹角数量。我们令凸角数量为 \(a\)，凹角数量为 \(b\)，由于每个四边形有四个角，我们有：

\[a+b=4\cdot C_n^4 \]

又到了熟悉的岔路口，但这一次，我们选择计算凸角数量 \(a\)。

这个求法非常简单，直接枚举每个点作为原点，其他的点做极角排序。

用双指针扫一下，得到以某一条边为定边的小于 \(180\) 度的角的个数。即 \(i\) 为定边，到 \(j\) 为止的角小于 \(180\) 度，\(j+1\) 与 \(i\) 所夹的角大于 \(180\) 度。那么这个区间里面的凸角所属四边形有 \(C_{j-i+1}^2\) 个。

注意要破环为链。

这样我们就求得了 \(a\)，我们就可以依次求出 \(b,y,x,sum,ans\)。

最后输出 \(ans\) 即可。

最后时间复杂度为 \(O(n^2\log n)\)。