CF1481E Sorting Books

E. Sorting Books

这个官方题解只讲了转移方程，根本没讲原理，这里全部重新做个解释。

我们先考虑答案的范围。如果我们贪心，那么最多操作次数为 \(n\) 次，且一本书最多会被移动一次。

定状态

我们令 \(l_i,r_i\) 分别为第 \(i\) 种颜色从左往右数最早出现/最晚出现的位置。令 \(f_i\) 为在最后将所有书归好类后，\([i,n]\) 内最多有多少本书无需移动。明显，我们需要倒序枚举。最后的答案为 \(n-f_1\)。

我们记 \(tot_{i,j}\) 为在 \([j,n]\) 中，颜色为 \(i\) 的书本有多少本。

列状态转移方程

\[f_i=\max\begin{cases} f_{i+1}&1\leq i<n\\ tot_{a_i,i}&i\neq l_{a_i}\\ tot_{a_i,i}+f_{r_{a_i}+1}&i=l_{a_i} \end{cases}\]

• 首先我们考虑的是 \(i\) 这本书要移动，那么此时最多可以保留不动的就是 \(f_{i+1}\) 本。
• 如果 \(i\) 这本书不移动，那么显然颜色为 \(a_i\) 的书都不要动，即 \(tot_{a_i,i}\) 本。那为什么在 \(i\neq l_{a_i}\)，不加上 \(f_{r_{a_i}+1}\) 呢？我们可以重点关注一下样例：

5
1 2 2 1 3

若加上了，我们得到的 \(f\) 数组为 \(4,4,3,2,1\)（下标从 \(1\) 开始）。明显是错误的，应该为 \(3\)。为什么会错呢？我们来具体分析发生了甚么。

从本质出发，为什么可以保持颜色为 \(a_i\) 的书不移动，就是因为把 \([i,r_{a_i}]\) 中颜色不为 \(a_i\) 的全部移走。如果过早地进行了与有区间的合并，可能就会有两个区间有部分重叠。只有等所有颜色为 \(a_i\) 的数都出现过了，才可以进行区间的合并。

那上面那个样例说事，我们来理清关系：

• \(f_1=f_2\)
• \(f_2=f_4+1\)
• \(f_4=f_5+1\)。

好，到这里，就出现了问题。我们已经将 \([4,4],[5,5]\) 合并为了 \([4,5]\)。而在 \([2,3]\) 出现后，我们又进行了合并，有区间 \([2,5]\)。说明我们不可能将 \(2\) 移走了。我饿么您此时为了做出最优决策，只能将第一个 \(1\) 移走。明显是错误的。因为在 \([1,4]\) 区间可以被计算时，\([4,4]\) 已经“名花有主”了。

边界&初值

无。好干脆啊。

//Don't act like a loser.
//This code is written by huayucaiji
//You can only use the code for studying or finding mistakes
//Or,you'll be punished by Sakyamuni!!!
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int read() {
	char ch=getchar();
	int f=1,x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') {
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}

const int MAXN=5e5+10; 

int n;
int a[MAXN],l[MAXN],r[MAXN],f[MAXN],tot[MAXN];

signed main() {
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		a[i]=read();
		if(!l[a[i]]) {
			l[a[i]]=i;
		}
	}
	for(int i=n;i;i--) {
		if(!r[a[i]]) {
			r[a[i]]=i;
		}
	}
	
	for(int i=n;i;i--) {
		tot[a[i]]++;
		if(i==l[a[i]]) {
			f[i]=max(tot[a[i]]+f[r[a[i]]+1],f[i+1]);
		}
		else {
			f[i]=max(f[i+1],tot[a[i]]);//正确
		//	f[i]=max(tot[a[i]]+f[r[a[i]]+1],f[i+1]；//错误
		}
	}
	
	cout<<n-f[1]<<endl;
	return 0;
}