【华为云社区】悟一下动态规划

程序 = 数据结构+算法。所以，不了解算法的程序猿不是一个合格的程序猿，对算法痴迷是程序员的基本职业修养。哈哈，按照惯例，先扯下淡。

下面来一起看下什么是动态规划，以下绿色字来自百度百科：

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。

看完了吧，有点儿晕了吧，正常，谁看都晕，我们来通过实战感受一把吧：

如下图所示一个金字塔，请选择一条路使得从塔顶和路走到塔底（不得回头哦，跟人生一样，没有后悔药卖的）一路所过数字之和最大。

如何解决？

可能的最简单的想法是从上到下，每一步都选下一步可选方案中的最优方案方案不就行了么。这就是所谓的贪婪算法的基本思想。但是这样的思路真的可以得到正确的答案么？最终得到的路线一定是最优的路线么？

结论是末必。要知道每一步的局部最优未必是全局最优哦。就好比高中时，我们每个同学的梦想都是可以考上名牌大学，这当时在大家看来是下步路最优的选择了。然而，十年后再回聚首，就会发现当年没考上大学的同学未必与上过大学的同学混得差哦。三十年河西，三十年河东。这就是局部最优未必是全局最优最好的诠释了，好好回味一下。

回到问题，注意到我们的题目毕竟跟我们的人生选择还是不一样的。我们所做的每一次人生选择大部分都是按照贪婪算法来的，原因就在于人生选择是一次性，只能不停的沿着一条路往前走到底，我们的可视范围仅限于我们下一步的选择。当然少数特别有选见的人，会看得更远一些，为了长远利益放弃当前利益，就如当年比尔盖茨放弃大学文凭辍学办公司一样。而对于我们这个金字塔的题目，哈哈，太easy了，完全不用那么究竟，因为我们是可以遍历的哦。所有的路都遍历一遍，熟优熟劣自然一目了然。

但是.....如何遍历，这又是一问题。

相信了解二叉树的你，看到题目中的图，提起遍历第一时间想到的就是二叉树递归遍历了吧。但是需要提醒你的是，有两个问题是需要考虑的哦，一个是复杂度，相对于图中的节点数n，初步估计约为o(2^(n^(1/2)))，这也够受了的。另一个是调用栈，这个塔有多少层，调用栈就有多么的深，这也不是闹着玩的，小塔还搞得定，高塔就彻底完了。

怎么办？继续分析！

注意到，要想自上而下到达塔中的某个点，要么我们从塔中该点的上一层下来就只有两个选择。例如，想要到达10这个节点，那么只有要么从18下来，要么从9下来。也就是说最优路径要么经过18，要么经过9。我们把10看作是雇员，18和9看作是10的潜在老板，至于10要选择给哪个老板打工，那就看谁能提供更多的money了，至于这个money，18和9这两个老板是怎么搞来的，这才不是雇员10关心的呢，雇员只认money，这就是市场。也就是所谓的无后效性。（这里的money，就是我们之前提出的所经过的链路之上的所有数字之和，你懂的）。

接下来，问题转化了，雇员10最多可以拿到多少money，取决于了18和9两个老板手里可以最多可以拿到多少money。而18，9相同于自己的上层老板而言，自己又于雇员了。同同样的分析过程。问题再次向上转化。

整过过程就是这样了，正过来想，那我们只需要从上到下，依次计算出每个老板手里最多可以拿到多少资源就可以了。计算出了第n层塔中各个节点的最大链路和，第n+1层的也就马上计算出来了。

示例代码如下：

#include <stdio.h>
#define MAX_SIZE (5)
#define MAX_OF(A,B)  ((A)>(B)?(A):(B))
int main()
{
 int node[MAX_SIZE][MAX_SIZE] = {
      {9},
      {12,15},
      {10,6,8},
      {2,18,9,5},
      {19,7,10,4,16}
       };
 int money[MAX_SIZE][MAX_SIZE] = {0};
 int MaxMoney = 0;
 int i,j;
    money[0][0] = node[0][0];
 for(i = 1;i<MAX_SIZE;i++)
 {
     money[i][0] = money[i-1][0] + node[i][0];
     for(j = 1;j<i;j++)
  {
      money[i][j] = MAX_OF(money[i-1][j-1],money[i-1][j]) + node[i][j];
  }
  money[i][i] = money[i-1][i-1] + node[i][i];
 }
 
 MaxMoney = money[MAX_SIZE-1][0];
 for(i = 0;i<MAX_SIZE;i++)
 {
     MaxMoney = MAX_OF(money[MAX_SIZE-1][i],MaxMoney);
 }
 printf("Max link Value: %d\r\n",MaxMoney);
    return 0;
}

最终计算结果为:59

至于如何把具体链路打出来，留给大家拍砖顶贴了。

以上就是所谓的动态规划思想，简单吧，再悟一下。

算法最重要的是思想。思想是定的，应用的具体方法是活的，活学活用，才是王道。

掌声响起来，哈哈。

作者：张亮