2023年12月13日总结

总结

今天是 dp 专题。感觉好难。那就这样吧，开启新的一天吧！

决策单调性优化DP

四边形不等式优化 OI-WIKI

DP的决策单调性优化总结 --command_block

DP 优化方法大杂烩 --alex-wei

四边形不等式

考虑最简单的情形，我们要解决如下一系列最优化问题。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(i)=\underset{1\le j\le i}{min}w(j,i)(1\le i\le n)\end{array}$$

• 四边形不等式 ：如果对于任意 $a\le b\le c\le d$ 均成立

$$w(a,c)+w(b,d)\le w(a,d)+w(b,c),$$

若 $w$ 满足四边形不等式，则问题 (1) 满足决策单调性。

常见优化方式：分治，二分队列。

「POI2011」Lightning Conductor 分治，头尾各来一遍就好。要注意，计算代价的时候不能向上取整，否则会破坏四边形不等式的性质！

「HNOI2008」玩具装箱 toy 区间分拆问题，内部满足四边形不等式外面也一定满足，写出来就会发现 f 消掉了。顺序递推，只能用二分队列来写了，虽然分治更好写。这道题显然可以斜率优化来做，但是也具有决策单调性的性质。

这道题也能用斜率优化写，因此顺便写了一遍斜率优化。

区间分拆问题

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(k,i)=\underset{1\le j\le i}{min}f(k-1,j-1)+w(j,i)(1\le k\le m,1\le i\le n)\end{array}$$

若 $w$ 满足四边形不等式，则对于问题 (2) 成立 $\mathrm{opt}(k-1,i)\le \mathrm{opt}(k,i)\le \mathrm{opt}(k,i+1)$。

若 $w$ 满足四边形不等式，则问题 (2) 的最优解 $g(k):=f(n,k)$ 是关于 $k$ 的凸函数。

然后就引出了 wqs 二分。

区间合并问题

$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(j,i)=\underset{j\le k<i}{min}f(j,k)+f(k+1,i)+w(j,i)(1\le j<i\le n)\end{array}$$

• 区间包含单调性 ：如果对于任意 $a\le b\le c\le d$ 均成立

$$w(b,c)\le w(a,d),$$

则称函数 $w$ 对于区间包含关系具有单调性。

若 $w$ 满足区间包含单调性和四边形不等式，则状态 $f(j,i)$ 满足四边形不等式。

若 $w$ 满足区间包含单调性和四边形不等式，则问题 (3) 中最小最优决策 $\mathrm{opt}(j,i)$ 满足

$$\mathrm{opt}(j,i-1)\le \mathrm{opt}(j,i)\le \mathrm{opt}(j+1,i).(j+1<i)$$

例题：

Ciel and Gondolas 经典的决策单调性。这道题不用快读 TLE。好恶心。

wqs 二分

参看第三篇博客。

注意：保证最小情况下，段数最大最小值对二分过程有影响！三点共线的情况。

P2619 [国家集训队] Tree I 典题。

最小度限制生成树 wqs二分，但可以不用。数组开小了调了半天。伤心。

动态dp

还是参看第三篇博客。

可以用 矩阵乘法 描述转移方程，定义广义矩阵乘法：

$$C_{i,j}=\underset{k=1}{\overset{n}{⨁}}{A}_{i,k}\otimes B_{k,j}$$

只需要满足 $⨂$ 具有结合律，且 $⨂$ 对 $⨁$ 有分配律，则存在结合律。

常见广义矩阵乘法有 $min,+$ 卷积，$max,+$ 卷积，$\mathcal{o}r,and$ 卷积。

P4719【模板】动态 DP 动态树分治 树链剖分+ $(max,+)$ 矩阵维护。

后记

dp 可真是有趣呢！使我使我……今天张贝还是没有来，zrj 也生病了，邓老师下午也离开了……呜呜呜。希望他们平安无事。

太伤心了，不写诗了。

喜报：我能去线下参加 WC 啦！