2023年12月7日总结

总结

美好的早晨开始拉！昨天晚上终于想明白昨天的 T3 了！然后我发现邓老师的式子和题解本质相同（废话），然后列出了等式。感觉线性基真实一个奇妙的东西。今天是组合数学！

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开胃小菜

先来一道数论题 LCMSUM - LCM Sum 来自汉武帝的推荐。自豪地采用 log 的方法切掉这道题。

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Burnside 引理/Polya 定理

【模板】Polya 定理 板子，做过，放在这里。

[HNOI2009] 图的同构计数 经典好题，再做一遍。很巧妙的一道题。本质上是边的变换，转到点上，再考虑点的循环置换之内和外的边的循环置换，很巧妙。为了求这道题的时间复杂度，一不小心学了一下拆分数的知识：分拆数。

这个知识好有趣，很多看似不同的数却有着相似或者相关性的生成函数，数学有趣！

Catalan 数

n 等于 17 时，卡特兰数将会超过 int 最大值。

生成函数：

\[H(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} \]

经典问题例举：

• 进出栈序列：n 个元素进栈序列为：1，2，3，4，...，n，则有多少种出栈序列。
• 括号序列：n 对括号，则有多少种 “括号匹配” 的括号序列
• 二叉树：n + 1 个叶子节点能够构成多少种形状不同的（国际）满二叉树
• 二叉树：\(n\) 个节点可以构造出多少个不同的二叉树？
• 凸多边形划分为三角形：对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数？
• 序列前缀和非负：\(n\) 个 \(+1\) 和 \(-1\) 个构成 \(2n\) 项,其任意前缀和的序列 \(a_1+a_2+\cdots+a_k\ge 0\space (k=1,2,\cdots,2n)\) 的数量个数。
• 电影购票：电影票一张 50 coin，且售票厅没有 coin。m 个人各自持有 50 coin，n 个人各自持有 100 coin。则有多少种排队方式，可以让每个人都买到电影票。
• 几何模型：从 \((1,1)\) 走到 \((n,n)\)，只能横着或竖着走单位距离，不能跨国对角线，有多少种走法？

[HNOI2009] 有趣的数列 这种题的话，其实如果你知道是卡特兰数就会很简单。

斯特林数

《小学生都能看懂的三类斯特林数从入门到升天教程》

斯特林数

第二类斯特林数

第二类斯特林数 （斯特林子集数）\(\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}\)，也可记做 \(S(n,k)\)，表示将 \(n\) 个两两不同的元素，划分为 \(k\) 个互不区分的非空子集的方案数。

\(\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix}\)

边界是 \(\begin{Bmatrix}n\\ 0\end{Bmatrix}=[n=0]\)。

\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\sum\limits_{i=0}^m\dfrac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!}\) （使用二项式反演来推导）

第一类斯特林数

巴拉巴拉巴拉。生成函数是 x 上升幂。

放一个别人的多项式笔记：多项式。

题目

洛谷上斯特林数唯一的黄题 [NICA #1] 乘只因 很好的，显然第二类斯特林数。预处理可过。

其实还有第三类的，学不动了摆。

第二类斯特林数·行 唯一的紫题呜啊。

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问了一下邓老师，要记住这个：

\[\begin{aligned} x^\overline{n} &= \sum_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix} x^i\\ x^\underline{n} &= \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\\ x^n &= \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^\overline{i}\\ x^n &= \sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^\underline{i} \end{aligned} \]

后记

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，学习组合数学到疯狂！

P.S. 其实我觉得考场上直接考斯特林数的概率也不大吧（），我觉得还不如去看看生成函数，多项式之类的。看起来太癫狂了。

白云熙熙清水平，心中有数天地宽。
人间正道无处寻，千番乃得皆浮云。