分类： 1.1 C/C++ 2009-07-29 16:24 902人阅读 评论(0) 收藏 举报 很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。 后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。 1. 模运算是取余运算(记做 % 或者 mod)，具有周期性的特点。 m%n的意思是n除m后的余数， 当m递增时m%n呈现周期性特点， 并且n越大，周期越长，周期等于n。 例如 0 % 20 = 0，1 % 20 = 1， 2 % 20 = 2， 3 % 20 = 3， ...， 19 % 20 = 19 20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3， ...，39 % 20 = 19 2. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式 m = k * n + r (k为大于等于0的整数， r <= m） 3. 同余式， 表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。 根据2的等式可以推出 a = kn + b 或者 a - b = kn 证明： ∵ a = k1 * n + r1 b = k2 * n + r2 ∴ a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2) a = k * n + (r1 - r2) + b ∵ a, b对n取模同余，r1 = r2 ∴ a = k * n + b (k = k1 - k2) 4. 模运算规则， 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下 (a + b) % n = (a % n + b % n) % n （1） (a - b) % n = (a % n - b % n) % n （2） (a * b) % n = (a % n * b % n) % n （3） ab % n = ((a % n)b) % n （4） 相关证明：http://hi.baidu.com/ckh%5F0330/blog/item/bb2c4d8873df60ba0e24441e.html 模取幂运算a^b mod c ： 直接插入主题: 1.当a,b,c 都比较小的时候，可以使用赤裸裸的暴力 伪代码: v:=1; for i := 1 to b begin v:=v*a; v:=v mod c; end 这也是我们在第一次遇到这种问题的时候首先能想到的. 2.a,b,c都比较大的时候 这里需要考虑c的大小了，假设c*c<2^64吧(再大就只能再做特殊处理了) b比较大的话使用1的方法显然时间上是承受不了的，所以可以利用所谓的二分法. b=b0+b1*2^1+b2*2^2+...+bn*2^n 显然a^b可以变成若干项的乘积 伪代码: v:=1; while b<>0 do begin if (b and 1= 1) do begin v:=v*a;v:=v mod c;end a:=a*a; a:=a mod c; b:=b shr 1; end 3.如果c很大，那么需要使用到模拟乘法来避免溢出,当然如果c已经大到10^100,那么只能用高精了..这里只能处理最多c=2^64-1的情况吧 伪代码: int mul(int a,int b,int c) { int ret=0,tmp=a%c; while(b) { if(b&0x1)if((ret+=tmp)>=c)ret-=c; if((tmp<<=1)>=c)tmp-=c; b>>=1; } return ret; } 4.如果b已经爆大，那么使用logb的算法显然已经力不从心 于是可以考虑利用循环节的方法来求解 如果c比较小，那么可以直接暴力得到循环节 对于a^b mod c a.if gcd(a,c)==1 那么可以知道它的循环节开始位置必然是1,而且循环节长既为它的欧拉函数的因子 因为有a^p mod c= 1 所以p可以看成是周期 b.if gcd(a,c)!=1 那么循环节是否一定不从1开始呢？答案是否定的 why? 因为假设存在某个L'使 a mod c = a^(1+L') mod c= a* a^L' mod c 那么可以解到许多满足条件的B',使a*B' = a mod c (mod c) 解的个数就是gcd(a,c)，然后如果能找到a^L' = B' (mod c) 那么其开始位置依然可以是1 当然其他大多数情况下循环节开始位置都不是1 好了下面用暴力得到了循环节开始位置spos,和循环节长len 下面用到公式 就可以在比较快的时间内求解了 如果c非常大那怎么办？ 可以利用抽屉原理+baby-step,giant-step扩展应该可以得到循环节的长度，接下来循环节的开始位置我还没有想到比较好的算法，暂时只能暴力了-_-,谁有思路请留言谢谢~ ps：acm竞赛经常要用到模运算和模取幂运算，高优的算法同时也要兼顾处理的范围。 资料来自：http://hi.baidu.com/aekdycoin http://hi.baidu.com/ckh%5F0330
