欧几里德算法的证明

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d也是（b,a mod b）的公约数
因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

【来自百度百科】上述“d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r”这一步的证明：
d|a,d|b则有如下两点：
a/d=n、b/d=m。其中n、m是整数。则（xa+yb）/d=nx+my.也即：d|(xa+yb)。其中x、y是整数。

 

 

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下面是另一个证明过程，同样是出自百度百科。

 

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a  mod b ，  是a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。

辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证明过程如下：

第一步：令c=gcd(a,b)≠0，则设a=mc，b=nc。   (注意：因为a与b的最大公约数是c，所以m与n必然互质。)

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质，因此c也是b与r的最大公约数。

(关于“m-kn与n互质”的断定，可以用反证法来证明：假设“m-kn与n不互质”，则有m-kn=xd，n=yd (d>1)，于是m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面假设c=gcd(a，b)互相矛盾，所以“m-kn与n不互质”不成立。)

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

注意：以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。