寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟

摘要： 如果平面上任取n个整点（即横纵坐标都是整数），则其中必定存在两个点a和b，使得a和b之间连线的中点也是整点。那么n至少是多少呢？答案是5。分析过程如下：我们把各个坐标分量都是整数的点称为格点或整点。鸽笼原理是指：把m个元素分为n类，如果m>n，则至少有一个类中至少有两个元素。该原理也可叙述为：把2m+1个元素分为两类，则至少有一个类中至少有m+1个元素。命题：在平面上任意五个格点中，必有两点的中点亦为格点。我们引述证明如下：给出平面上任意五个格点,设它们的坐标为(ni,mi)，ni和mi为整数，i=1,2,3,4,5。把n1,n2,n3,n4,n5分为偶数和奇数，据鸽笼原理，至少有3个都 阅读全文

摘要： 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a,d|b 阅读全文