codevs 2185 最长公共上升子序列
题目链接:
codevs 2185 最长公共上升子序列
codevs 1408 最长公共子序列
题目描述 Description
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列,再让他们研究了最长公共子序列,
现在又让他们要研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说,对于两个串A,B,如果它们都包含一段位置不一定连续的数字,且数字是严格递增的,
那么称这一段数字是两个串的公共上升子串,而所有的公共上升子串中最长的就是最长公共上升子串了。
奶牛半懂不懂,小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子串。不过,只要告诉奶牛它的长度就可以了。
输入描述 Input Description
第一行N,表示A,B的长度。
第二行,串A。
第三行,串B。
输出描述 Output Description
输出最长公共上升子序列的长度。
样例输入 Sample Input
4
2 2 1 3
2 1 2 3
样例输出 Sample Output
2
数据范围及提示 Data Size & Hint
1<=N<=3000,A,B中的数字不超过maxlongint
分类标签
动态规划
参考题解:
http://blog.csdn.net/wall_f/article/details/8279733
https://wenku.baidu.com/view/3e78f223aaea998fcc220ea0.html 下载该文档
分析:
定义状态
F[i][j]表示以a串的前i个整数与b串的前j个整数且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。
状态转移方程:
①F[i][j] = F[i-1][j] (a[i] != b[j])
②F[i][j] = max(F[i-1][k]+1) (1 <= k <= j-1 && b[j] > b[k])
现在我们来说为什么会是这样的状态转移方程呢?
对于①,因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS,如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个整数a[k]等于b[j],因为a[k]!=a[i],那么a[i]对F[i][j]没有贡献,于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。
对于②,前提是a[i] == b[j],我们需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢?首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了,不能用了。并且也不能是i-2,因为i-1必然比i-2更优。第二维呢?那就需要枚举b[1]...b[j-1]了,因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题,可不可能不配对呢?也就是在a[i]==b[j]的情况下,需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢?答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对,那就是和之前的a[1]...a[j-1]配对(假设F[i-1][j]>0,等于0不考虑),这样必然没有和a[i]配对优越。(为什么必然呢?因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1,而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。
朴素的LCIS算法实现
以Hdu 1423 Greatest Common Increasing Subsequence为例。
预处理:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include <iostream> 2 #include <cstdlib> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #include <string> 6 #include <algorithm> 7 using namespace std; 8 9 const int MAXN = 1001; 10 11 int a[MAXN], b[MAXN]; 12 int f[MAXN][MAXN]; 13 int n, m; 14 15 void init() 16 { 17 memset(f, 0, sizeof(f)); 18 }
核心代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 void dp() 2 { 3 init(); 4 int i, j, k; 5 for(i = 1; i <= n; i++) 6 { 7 for(j = 1; j <= m; j++) 8 { 9 f[i][j] = f[i-1][j]; // if(a[i] != b[j]) 10 if(a[i] == b[j]) 11 { 12 int MAX = 0; 13 for(k = 1; k <= j-1; k++) if(b[j] > b[k]) //枚举最大的f[i-1][k] 14 { 15 MAX = max(MAX, f[i-1][k]); 16 } 17 f[i][j] = MAX+1; 18 } 19 } 20 } 21 int ans = 0; 22 for(int i = 1; i <= m; i++) ans = max(ans, f[n][i]); 23 printf("%d\n", ans); 24 }
从状态转移方程以及上述核心代码不难看到,这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP,离平方还有一段距离。
但是,这个算法最关键的是,如果按照一个合理的递推顺序,max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢?首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环,第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。
如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0,然后开始内层循环。当a[i]>b[j]而且max<f[i-1][j]的时候令max=F[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候,则令F[i][j]=max+1。
最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。
********************************论述开始的分割线***************************
假如上面的论述不是太理解,可以参考下面的论述:(假如懂了请自行忽略。主要是“当a[i]>b[j]而且max<f[i-1][j]的时候令max=F[i-1][j]”这一句话的原理)
**********************************论述结束的分割线********************************
所以可以优化如下:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 int f[1005][1005],a[1005],b[1005],i,j,t,n1,n2,max; 4 int main() 5 { 6 scanf("%d",&t); 7 while(t--) 8 { 9 scanf("%d%d",&n1,&n2); 10 for(i=1;i<=n1;i++) scanf("%d",&a[i]); 11 for(i=1;i<=n2;i++) scanf("%d",&b[i]); 12 memset(f,0,sizeof(f)); 13 for(i=1;i<=n1;i++) 14 { 15 max=0; 16 for(j=1;j<=n2;j++) 17 { 18 f[i][j]=f[i-1][j]; 19 if (a[i]>b[j]&&max<f[i-1][j]) max=f[i-1][j]; 20 if (a[i]==b[j]) f[i][j]=max+1; 21 } 22 } 23 max=0; 24 for(i=1;i<=n2;i++) if (max<f[n1][i]) max=f[n1][i]; 25 printf("%d\n",max); 26 } 27 }
至于本文题目codevs 2185的代码如下:
1 #include <stdio.h> 2 #define maxN 3003 3 4 int n,a[maxN],b[maxN]; 5 int f[2][maxN]; 6 7 int main(int argc, char *argv[]) 8 { 9 int i,j; 10 int cur,max; 11 scanf("%d",&n); 12 for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); 13 for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&b[i]); 14 15 for(i=0;i<2;i++) f[i][0]=0; 16 for(j=0;j<=n;j++) f[0][j]=0; 17 cur=0; 18 19 for(i=1;i<=n;i++) 20 { 21 cur=cur^1; 22 max=0; 23 for(j=1;j<=n;j++) 24 { 25 f[cur][j]=f[cur^1][j]; 26 if(b[j]<a[i]&&f[cur^1][j]>max) max=f[cur^1][j]; 27 if(a[i]==b[j]) f[cur][j]=max+1; 28 } 29 } 30 max=0; 31 for(j=1;j<=n;j++) 32 { 33 if(f[cur][j]>max) max=f[cur][j]; 34 } 35 printf("%d\n",max); 36 return 0; 37 }
可以发现,其实上面的代码有些地方与0/1背包很相似,即每次用到的只是上一层循环用到的值,即f[i-1][j],那么我们可以像优化0/1背包问题利用滚动数组来优化空间。
核心代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 void dp() 2 { 3 init(); 4 for(int i = 1; i <= n; i++) 5 { 6 int MAX = 0; 7 for(int j = 1; j <= n; j++) 8 { 9 if(a[i] > b[j]) MAX = max(MAX, f[j]); 10 if(a[i] == b[j]) f[j] = MAX+1; 11 } 12 } 13 int ans = 0; 14 for(int j = 1; j <= m; j++) ans = max(ans, f[j]); 15 printf("%d\n", ans); 16 }
如果是求最长公共下降子序列呢?很明显嘛,把状态定义改动一下,即f[i][j]表示以a串的前i个整数与b串的前j个整数且以b[j]为结尾构成的LCDS的长度,具体实现的时候只要把a[i] > b[j]改为a[i] < b[j]就可以啦。