1768:最大子矩阵（NOIP2014初赛最后一题）

1768:最大子矩阵

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描述

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

输入

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N²个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

输出

输出最大子矩阵的大小。

样例输入

4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 -1

8  0 -2

样例输出

15

来源

翻译自 Greater New York 2001 的试题

分析：

先对每一行计算前缀和数组，用于方便地计算每一行指定段的元素之和。

然后枚举子矩阵的起始列first、结束列last。然后在这个区域计算列数为last-first+1的所有子矩阵的最大和。（计算过程类似一维矩阵的最大子段和。）

#include <stdio.h>
const int SIZE = 100;
int matrix[SIZE + 1][SIZE + 1];
int rowsum[SIZE + 1][SIZE + 1]; //rowsum[i][j]记录第 i 行前 j 个数的和
int m, n, i, j, first, last, area, ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    m=n;
    for (i = 1; i <= m; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &matrix[i][j]);
    ans = matrix[1][1];
    for (i = 1; i <= m; i++)
        rowsum[i][0]=0;
    for (i = 1; i <= m; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++)
            rowsum[i][j] = rowsum[i][j-1]+matrix[i][j];
    for (first = 1; first <= n; first++)
        for (last = first; last <= n; last++) 
        {
            area=0;
            for (i = 1; i <= m; i++) 
            {
                area += rowsum[i][last] -rowsum[i][first-1];
                if (area > ans) ans = area;
                if (area < 0) area = 0;
            }
        }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}