极值问题

对上述方法的更为详细的描述：

解析：

由条件②得出：

n^2-mn-m^2+1=0

n^2-mn-m^2-1=0

根据求根公式：

n1,2=(m+Δ1,2)/2

 n3,4=(m-Δ1,2)/2

其中：

Δ1=sqrt(5*m^2+4)

Δ2=sqrt(5*m^2-4)

（sqrt即为求非负实数平方根）

下面再来考虑条件①.由于n＞1,因此排除了n3和n4存在的可能性,即

n=n1=(m+Δ1)/2   或者   n=n2=(m+Δ2)/2

又由于n和m是整数,因此Δ1和Δ2应为整数.同样,(m+Δ1)/2 和 (m+Δ2)/2也应为整数.

有了上述条件限制和m与n的函数关系式,使得求m^2+n^2值最大的一族m和n就比较方便了.

由于m^2+n^2单调递增,因此我们从m=k出发,按递减方向将m值代入n的求根公式.只要Δ1（或Δ2）为整数,n1（或n2）为整数且小于k,则得出的一组m和n一定使m^2+n^2的值最大.

代码如下：

int 
m
,
n
,
k
;

    
double 
delt1
,
delt2
,
n1
,
n2
;

    
scanf
(
"%d"
,&
k
);

    
for
(
m
=
k
;
m
>=
1
;
m
--)

    {

        
delt1
=
sqrt
(
5
*
m
*
m
+
4
);

        
n1
=(
m
+
delt1
)/
2
;

        
n
=
n1
;

        
if
(
n
==
n1
&&
n
<=
k
) 
break
;

        
delt2
=
sqrt
(
5
*
m
*
m
-
4
);

        
n2
=(
m
+
delt2
)/
2
;

        
n
=
n2
;

        
if
(
n
==
n2
&&
n
<=
k
) 
break
;

    }

    
printf
(
"%d %d\n"
,
m
,
n
);

 

 

标准答案是：

1、输入k，n ← 1， m ← 1

2、t ← n+m

3、若 t ≤ k，则 m ← n， n ← t，转下一步

4、若t ≤ k，则返回第2步，否则转下一步

5、输出m、n，结束

 

代码如下：

      

    int n=1,m=1,k,t;
    cin>>k;
    do
    {
        t=n+m;
        if(t<=k)
        {
            m=n;
                n=t;
        }
    }
    while(t<=k);
    cout<<"m="<<m<<endl<<"n="<<n;