数塔问题【递推算法】

关于输入：本题输入一个正整数n，然后输入n行数字，其中第i行有i个数字。例如：

5

7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

本题输入的三角数组形状如下图1，在处理数据时按图2形状来处理。在上面的输入案例中，可以按图3所示数塔来处理。

         

   图1                          图2                     图3

问题需求：从数塔顶层到底层的某处所经过的路径可能有很多条。本题要求计算所有路径中，各节点数之和最大的那条路径的节点数之和。（注意：只要求输出节点数总和最大的那条路的节点数之和，不是要寻找那条路径。）

另外：从上往下走时，每一步可以沿着左斜线或右斜线走。

关于数据规模：整个数塔的行数n<=100.数塔中的数字a[i][j] ∈ [0,99].

 

算法分析：

      本题不需要寻找路径，可以简单地递推即可得到解答.

试想，从上往下走时，每一步都面临左和右的选择。为了得到最大总和，在看不见更深层的数据时，都应该按照贪心策略，从左和右两边中选比较大的那一边作为向下一层行走的路线。这是正向思路，比较好理解。但这样一来，路径太多，很难找到解答。我们可以考虑逆向递推。既然每一步都选择较大的那一边，那么我们可以假设a[i][j]表示从i，j出发到达底层的最大值。那么就有递推公式：a[i][j]=max{   a[i][j]+a[i+1][j]  ,   a[i][j]+a[i+1][j+1]  }.如此一来，a[1][1]就是我们要找的值。

代码如下：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n,a[201][201];
    int i,j;
    
    scanf("%d",&n);//输入n
    for(i=1;i<=n;i++)//输入数塔
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    
    for(i=n-1;i>0;i--)//从倒数第2层开始逆推每一层每一个元素到底层的最大值
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            if(a[i+1][j]>a[i+1][j+1]) a[i][j]+=a[i+1][j];
            else a[i][j]+=a[i+1][j+1];
        }
    }
    printf("%d\n",a[1][1]);//输出从顶层到底层的最大值
    return 0;
}