开灯关灯问题

来源：http://www.cnblogs.com/haolujun/archive/2012/10/10/2719031.html

作者：haolujun

有编号1~100个灯泡，起初所有的灯都是灭的。有100个同学来按灯泡开关，如果灯是亮的，那么按过开关之后，灯会灭掉。如果灯是灭的，按过开关之后灯会亮。

现在开始按开关。

第1个同学，把所有的灯泡开关都按一次(按开关灯的编号： 1,2,3,......100)。
第2个同学，隔一个灯按一次(按开关灯的编号： 2,4,6,......,100)。
第3个同学，隔两个灯按一次(按开关灯的编号： 3,6,9,......,99)。
......

问题是，在第100个同学按过之后，有多少盏灯是亮着的？

这个问题有一个数学上的解决方法。可以看出，被按了奇数次的灯泡应该是亮着的，被按了偶数次的灯泡应该是灭的。那么什么样的灯泡被按了奇数次？什么 样的灯泡又被按了偶数次呢？从按的过程可以发现，如果一个灯泡的编号具有偶数个因子，那么该灯泡就被按了偶数次，反之按了奇数次。现在的问题又变成，什么 样的编号具有奇数个因子，什么样的编号具有偶数个因子？这涉及到一个叫做质因数分解的定理，大概的意思是说，任何正数都能被唯一表示成多个质因数幂次乘积 的方式。

例如:

14=2*7
50=2*5^2
...
100=2^2*5^2

也就是N=(p[1]^e[1])*(p[2]^e[2])*......*(p[k]^e[k])，其中p[i]是质数，e[i]是p[i]的幂次。而由这个公式我们又可以导出一个数有多少个因子的计算公式:FactorNumber(N)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)。

那么什么条件下满足FactorNumber(N)是奇数呢？显然必须所有的e[1],e[2],......,e[k]都必须是偶数，这样才能保证e[i]+1是奇数，结果乘积才能是奇数。而由于e[1],e[2],......,e[k]都是偶数,那么N一定是一个完全平方数(因为sqrt(N)=(p[1]^(e[1]/2))*(p[2]^(e[2]/2))*......*(p[k]^(e[k]/2))是整数) 。回到按灯泡的问题上来，1~100中完全平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100这10个数，也就是说最后只有编号为这10个数的灯是亮着的。

 

 

 

相类似题目：http://blog.csdn.net/oceaniwater/article/details/40709609

 

 有n盏灯，编号为1～n，第1个人把所有灯打开，第2个人按下所有编号为2的倍数的开关（这些灯将被关掉），第3个人按下所有编号为3的倍数的开关（其中关掉的灯被打开，       开着灯将被关闭），依此类推。一共有k个人，问最后有哪些灯开着？

    输入：n和k，输出开着的灯编号。k≤n≤1000。

 

   样例输入：7  3

 

   样例输出：1 5 6 7

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 1000 + 10
int a[MAXN];

int main(int argc, char *argv[])
{
  int i, j, n, k, first = 1;
  scanf("%d %d", &n, &k);
  memset(a, -1, sizeof(a));
  for(i = 1; i <= k; i++)
     for(j = 1; j <= n; j++)
     {
        if(j%i == 0) a[j] = -a[j];
     }
     /* 
  for(j = 1; j <= n; j++)
     if(a[j] == 1) printf("%d ", j); //最后应该没空格 
       
       */   
                              
  for(j = 1; j <= n; j++)
     if(a[j] == 1) {if(first) first = 0; else printf(" "); printf("%d", j);}
  printf("\n");     //最后再输出换行符 
  system("PAUSE");    
  return 0;
}

总结：1. 用一个标志来判断是否为第一次输出，如是，不输出空格，否则先输空格后输数字

        2 开关灯也可以用0 1