快速幂取模算法【转】

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在Miller Rabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能

算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下：

1 int modexp_simple(int a,int b,int n)     
2 {    
3     int ret = 1;
4     while (b--)
5     {
6         ret = a * ret % n;
7     }
8     return ret;
9 }

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算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +...+ p(1)*2 + p(0))
= a^(p(n)*2^n) * a^(p(n-1)*2^(n-1)) *...* a^(p(1)*2) * a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） = a^0 = 1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况

化简：a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2
（这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法：http://baike.baidu.com/view/1431260.htm）

利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果，即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位

实例代码：递归

 1 //计算a^bmodn     
 2 int modexp_recursion(int a,int b,int n)     
 3 {    
 4     int t = 1;
 5 
 6     if (b == 0)
 7         return 1;
 8 
 9     if (b == 1)
10          return a%n;
11 
12     t = modexp_recursion(a, b>>1, n);
13 
14     t = t*t % n;
15 
16     if (b&0x1)
17     {    
18         t = t*a % n;
19     }
20 
21     return t;
22  }

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实例代码2：非递归优化

 1 #include <iostream>   
 2 using namespace std;   
 3   
 4 //计算a^bmodn   
 5 int modexp(int a,int b,int n)   
 6 {   
 7     int ret=1;   
 8     int tmp=a;   
 9     while(b)   
10     {   
11        //基数存在   
12        if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;   
13        tmp=tmp*tmp%n;   
14        b>>=1;   
15     }   
16     return ret;   
17 }   
18   
19 int main()   
20 {   
21     cout<<modexp(2,10,3)<<endl;   
22     return 0;   
23 }