不要被阶乘吓倒[转]
http://www.kuqin.com/algorithm/20080505/7874.html
阶乘（Factorial）是个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它，我们来看看两个与阶乘相关的问题：
1. 给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。
2. 求N！的二进制表示中最低位1的位置。
解答：
有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N！的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从“哪些数相乘能得到10”这个角度来考虑，问题就变得简单了。
首先考虑，如果N！= K×10M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2x）×（3y）×（5z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。
根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。
【问题1的解法一】
要计算Z，最直接的方法，就是计算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指数，然后求和：
代码清单2-6
1 ret = 0; 2 for(i = 1; i <= N; i++) 3 { 4 j = i; 5 while(j % 5 ==0) 6 { 7 ret++; 8 j /= 5; 9 } 10 }
【问题1的解法二】
公式：Z = [N/5] +[N/52] +[N/53] + …（不用担心这会是一个无穷的运算，因为总存在一个K，使得5K > N，[N/5K]=0。）
公式中，[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/52]表示不大于N的数中52的倍数再贡献一个5，……代码如下：
1 ret = 0; 2 while(N) 3 { 4 ret += N / 5; 5 N /= 5; 6 }
问题2要求的是N！的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N，求N！二进制表示的最低位1在第几位？例如：给定N = 3，N！= 6，那么N！的二进制表示（1 010）的最低位1在第二位。
为了得到更好的解法，首先要对题目进行一下转化。
首先来看一下一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。
把一个二进制数除以2，实际过程如下：
判断最后一个二进制位是否为0，若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值（为什么）；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除（这又是为什么）。
所以，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。
【问题2的解法一】
由于N! 中含有质因数2的个数，等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1]，
根据上述分析，得到具体算法，如下所示：
代码清单2-7
1 int lowestOne(int N) 2 { 3 int Ret = 0; 4 while(N) 5 { 6 N >>= 1; 7 Ret += N; 8 } 9 return Ret; 10 }
【问题2的解法二】
N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。
下面对这个规律进行举例说明，假设 N = 11011，那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 +N/8 + N/16 + …
即： 1101 + 110 + 11 + 1
=（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+ 1
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1
= 1111 + 111 + 1
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）
= 11011-N二进制表示中1的个数
小结
任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1)，其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。所以，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。
相关题目
给定整数n，判断它是否为2的方幂（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。
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[1] 这个规律请读者自己证明（提示N/k，等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数）。
网友： Bleakxanadu
1、分解出N！中素数5的个数；
2、分解出N！ 中2的个数
网友： jijunchao@gmail
今天上午上课又想了想这个问题，对第二个问题也有解法了。
第一题：0的个数等于n/5；
第二题：对于二进制的乘法，要求最低位1的位置，也就是求末尾有几个0，根据乘法规则，只有乘数末尾带有0，结果才会增加0，也就是偶数参与乘法时，末尾的0才会增加。而且还有个规律，对于2的n次方，它的阶乘二进制中最低位1的位置就等于它本身，例如，4的阶乘为24，表示为11000，最低位1的位置从右边算起就是第4位。根据这一规律，我写了一个小算法来求出最低位1的位置，要求输入n，输出1的位置。
1 int find(int n) 2 { 3 int out,i; 4 if(n==1) //1!=1 5 out=1; 6 else if(n==2) //2!=2 二进制10 7 out=2; 8 else if(n==0) //0!=1,如果我没记错的话... 9 out=1; 10 else 11 { 12 for(i=1;!(n/(i*=2)<2);); //求出最逼近n是2的几次方 13 out=i-1+find(n%i); //然后递归求输出位置 14 } 15 return out; 16 } 17 void main() 18 { 19 int i = 6; 20 printf("%d",find(i)); 21 getchar(); 22 }
程序验证过应该是正确的。
不过说真的，这个问题如果出现在面试里面，我很可能答不出来，这要求对二进制运算比较熟悉，看来想去微软实习还得努力啊，给自己鼓劲！
期待《编程之美》，倒计时2天^_^
欢迎联系jijunchao@yahoo.com.cn，希望不吝赐教。
您也可以访问www.miniuml.cn，是我以前做的一个uml建模工具，是我本科的主要工作成果之一。
网友： ZXEOC
1、当1<=N<=4的时候N!末尾没有0，当5<=N<=9的时候N!末尾有1个0，当10<=N<=14的时候N!末尾有2个0，以此类推
原因：只有5的倍数与偶数相乘以及10的倍数会给最终结果的末尾加上0，而5的倍数比偶数少（偶数就是2的倍数嘛），所以只要计算有多少个5和0结尾的数参与乘法就行了，结果是N/5向下取整
2、假设最低位的1在第x位上，由于是二进制，所以这个数是2的x-1次方的奇数倍（如果是偶数倍，最低位1的位置就会向前移），换句话说，就是把N!不断除以2，一直到结果为奇数，然后算算除了多少次，+1就是结果了
网友： ZXEOC
“这个规律请读者自己证明（提示N/k，等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数）。”
这个很简单，由于1……N是连续的整数数列，而连续的k个数中必然有且只有一个数可以被k整除，把N/k看成计算把1……N的数列从头切割成多少个连续k个数的数列就行了
“给定整数n，判断它是否为2的方幂”
网友： ZXEOC
“给定整数n，判断它是否为2的方幂”
这个只要把n转成二进制就行了吧，2的幂的话，二进制表示一定是只有前面一个1，后面都是0的
PS：2就是二进制里的“10”，所以这道题就跟求“一个十进制数是不是10的幂”一个道理
网友： Stupidmxx
第一题应该是N/5+N/25+N/125+...嘛
int countOfZero(int N) {
int base = 5, div = 5, cnt = 0;
while(div <= N) {
cnt += N / div;
div *= base;
}
return cnt;
}
第二题转下思路就变成求N的阶乘分解因子后2的个数了，把上面程序的base和div改成2就OK了。不过考虑到除2的特殊性，可以改写成如下版本：
int countOfTwo(int N) {
int cnt = 0, tem = N;
while(tem != 0) {
cnt += tem >> 1;
}
return cnt;
}
来自：http://www.msra.cn/Articles/ArticleItem.aspx?Guid=a2cdc9c6-4a40-49ca-8765-1d0299367814
http://www.blogjava.net/Jack2007/archive/2008/10/18/235152.html
