斐波那契数列的低效与高效解法 【转】

文章来自：http://blog.csdn.net/mshantingting/article/details/22689573

 

斐波那契数列（又名黄金分割数列）在数学上的定义如下：

                     

许多人包括作者自己在看到这道题的时候，第一个想法就是使用函数递归来实现程序。

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

long long Fibonacci(int n)
{
long long f;
if(n==1||n==2)
f=1;
else
f=Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
return f;
}

int main()
{
int n;
long long f;
scanf("%d",&n);
f=Fibonacci(n);
printf("%lld",f);
return 0;
}

 

这种方法虽然便于理解，但是我们考虑一下，它的时间复杂度可是以n的指数形式增长 的。当n=10，n=20或者n=30时，程序能够在我们可以接受的运行时间内反馈给我们运行结果。但是，我们如果试一下n=50的情况，运行时间已经远 远超过了我们能够等待的时间（大概一分半钟）。原因很简单，例如我们要求f(8)，就要知道f(7)和f(6)，而求f(7)我们要求得f(6)和 f(5)，因此我们重复求了很多项，浪费很多时间。

改进的做法也是很简单的，我们可以从小往大算，循环n-1次，根据f(0)和f(1)求出f(2)，再根据f(1)和f(2)求出f(3)，以此类推。代码实现如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

long long Fibonacci(int n)
{
int result[2]={0,1},i;
if(n<2)
return result[n];
long long One = 1,Two = 0,Current_N = 0;
for(i=2;i<=n;i++)
{
Current_N = One + Two;
Two = One;
One = Current_N;
}
return Current_N;
}

int main()
{
long long n,f;
scanf("%d",&n);
f=Fibonacci(n);
printf("%lld",f);
return 0;
}

此方法时间复杂度是O(n)。这种方法提高了时间效率，被很多人采用。那还有没有更快的方法呢？根据《剑指offer》一书中作者提到的方法，书中介绍了一个数学公式如下：

                             

我进行了如下验算：

                             

因此f(n)就等于等式右边的二阶方阵的(n-1)次方所求得方阵的第一行第一列个数的值。代码实现如下：

 

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

//求矩阵a的n次幂的函数
long long * Matrix(long long *a,int n)
{
long long *result = (long long *)malloc(sizeof(long long)*4);
long long *finnal = (long long *)malloc(sizeof(long long)*4);
//如果n等于1的话，则直接返回矩阵a，毕竟，一次幂就不必求了。
if(n==1)
return a;
//先求出矩阵的n/2次幂
long long *CurMatrix = Matrix(a,n/2);
//两个矩阵的n/2次幂相乘得到矩阵的n次幂
result[0] = CurMatrix[0]*CurMatrix[0]+CurMatrix[1]*CurMatrix[2];
result[1] = CurMatrix[0]*CurMatrix[1]+CurMatrix[1]*CurMatrix[3];
result[2] = CurMatrix[2]*CurMatrix[0]+CurMatrix[3]*CurMatrix[2];
result[3] = CurMatrix[2]*CurMatrix[1]+CurMatrix[3]*CurMatrix[3];
//如果n为奇数的话，则(n/2)会少一位，补回来。a = a^(n/2)*a^(n/2) * a;
if(n%2==1)
{
finnal[0] = result[0]*a[0]+result[1]*a[2];
finnal[1] = result[0]*a[1]+result[1]*a[3];
finnal[2] = result[2]*a[0]+result[3]*a[2];
finnal[3] = result[2]*a[1]+result[3]*a[3];
}
//如果n为偶数的话，n/2还是n/2
else
finnal = result;
return finnal;
}

int main(void)
{
long long a[4];
int n;
cin>>n;
//矩阵按一位数组设置,t[0]即为febonacci(n)
a[0] = 1;
a[1] = 1;
a[2] = 1;
a[3] = 0;
long long *t = Matrix(a,n-1);
cout<<t[0]<<endl;
return 0;
}

 

显而易见，该算法的复杂度为O(logn)。

以上三种方法的时间效率一次增高，虽然人们普遍对第三种算法中的公式比较陌生，但经过一番细细地琢磨以后，便能体会到它的独到之处。

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