集合的划分【转】

【文章参考来源：http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/07/12/2103917.html】

问题描述：n个元素的集合{1,2,……, n }可以划分为若干个非空子集。例如，当n=4 时，集合{1，2，3，4}可以划分为15 个不同的非空子集如下：
{{1}，{2}，{3}，{4}}，
{{1，2}，{3}，{4}}，
{{1，3}，{2}，{4}}，
{{1，4}，{2}，{3}}，
{{2，3}，{1}，{4}}，
{{2，4}，{1}，{3}}，
{{3，4}，{1}，{2}}，
{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3}，{2，4}}，
{{1，4}，{2，3}}，
{{1，2，3}，{4}}，
{{1，2，4}，{3}}，
{{1，3，4}，{2}}，
{{2，3，4}，{1}}，
{{1，2，3，4}}
给定正整数n，计算出n个元素的集合{1,2,……, n }可以划分为多少个不同的非空子集。  

思路：

根据数学知识，n个元素的集合有2^n个子集，有2^n-1个非空子集。于是问题可以直接计算出答案。

 

下面是根据利用递归算法进行计算的思路分析。

对于n个元素的集合，可以划分成由m(1<=m<=n)个子集构成的子集，如 {{1}，{2}，{3}，{4}}就是由4个子集构成的非空子集。

假设f(n,m)表示将n个元素的集合划分成由m个子集构成的集合的个数，那么可以这样来看：

     (0)若n<m或m==0，则f(n,m)=0；（为了不失一般性，这里依然讨论m不在区间[1,n]的情况。）

     (1)若m==1，则f(n,m)=1;

     (2)若n==m，则f(n,m)=1;

     (3)若非以上两种情况，f(n,m)可以由下面两种情况构成

        （a）.向n-1个元素划分成的m个集合里面添加一个新的元素，则有m*f(n-1,m)种方法；

        （b）.向n-1个元素划分成的m-1个集合里添加一个由一个元素形成的独立的集合，则有f(n-1,m-1)种方法。

因此：

             1     (m==1||n==m)

f(n,m)=

             f(n-1,m-1)+m*f(n-1,m)       (m<n&&m!=1)

#include<stdio.h>

int f(int n,int m)
{
    if(m==1||n==m)
        return 1;
    else
        return f(n-1,m-1)+f(n-1,m)*m;
}

int main(void)
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)==1&&n>=1)
    {
        int i;
        int sum=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            sum+=f(n,i);
        }
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}