上台阶问题的递推分析

问题描述：

楼梯有N级台阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。编一递推程序，计算共有多少种不同走法？

分析：

台阶数1……方法数F₁=1

台阶数2……方法数F₂=2

 

台阶数为3的时候，方法数F₃的分析如下：

分两类：

（1）第一步走1个台阶方法数是1；剩余的2个台阶方法数目为2.（这个是根据前述分析所得结果。）根据乘法原理，这一类情况下，走法数目为1*2=2种。

（2）第一步走2个台阶方法数是1；剩余的1个台阶方法数目为1.（这个是根据前述分析所得结果。）根据乘法原理，这一类情况下，走法数目为1*1=1种。

综上所述，台阶数为3时，根据加法原理，走法数目为F₃=2+1=3种。

 

台阶数为4的时候，方法数目F₄的分析如下：

分两类：

（1）第一步走1个台阶方法数是1；剩余的3个台阶方法数目为3.（这个是根据前述分析所得结果。）根据乘法原理，这一类情况下，走法数目为1*3=3种。

（2）第一步走2个台阶方法数是1；剩余的2个台阶方法数目为2.（这个是根据前述分析所得结果。）根据乘法原理，这一类情况下，走法数目为1*2=2种。

综上所述，台阶数为4时，根据加法原理，走法数目为F₄=3+2=5种。

 

……

 

台阶数为n的时候，方法数目的分析如下：

分两类：

（1）第一步走1个台阶方法数是1；剩余的n-1个台阶方法数目为F_n-1.（这个是根据前述分析所得结果。）根据乘法原理，这一类情况下，走法数目为1*F_n-1种。

（2）第一步走2个台阶方法数是1；剩余的2个台阶方法数目为F_n-2.（这个是根据前述分析所得结果。）根据乘法原理，这一类情况下，走法数目为1*F_n-2种。

综上所述，台阶数为n时，根据加法原理，走法数目为F_n=F_n-1+F_n-2种。

 

所以，走n阶台阶的方法数目如下：（符合斐波列契数列（Faibonacci）的规则）

F₁=1 ……（N=1）
F₂=2 ……（N=2）
F_n=F_n-1 + F_n-2 ……（N>=3）