【题解】P4550 收集邮票（概率期望，平方期望）

6月份做的这道题，今天再看，发现有些地方的理解是错的，修改了一下发了上来。

Des

有 \(n\) 种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是 \(n\) 种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为 \(1/n\)。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第 \(k\) 次邮票需要支付 \(k\) 元钱。

现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

\(\texttt{Data Range:}\)

\(N\le 10^4\)

Sol

设 \(f(k)\) 表示买到 \(k\) 张不同邮票的期望次数，\(f(k)=\sum p_jn_j\)，则费用 \(g(k)\) 为

\[\sum p_j\frac {(1+n_j)(n_j)}{2}=\frac{\sum p_jn_j+\sum p_jn_j^2}{2}=\frac{f(k^2)+f(k)}{2} \]

所以需要维护 \(f(k^2)\) 和 \(f(k)\)。

设 \(f(k-1)=\sum q_jm_j\)，\(f(k)=\sum h_qs_q\)，则

\[\begin{align*} f(k)&=\frac{n-k+1}n\sum q_j(m_j+1)+\frac{k-1}n(\sum h_q(s_q+1))\\ &=\frac{n-k+1}n(f(k-1)+1)+\frac{k-1}n(f(k)+1)\\ &=f(k-1)+\frac{n}{n-k+1}, \end{align*} \]

同理，

\[\begin{align*} f(k^2)&=\frac{n-k+1}{n}\sum q_j(m_j+1)^2+\frac{k-1}{n}\sum h_q(s_q+1)^2\\ &=\frac{n-k+1}{n}(f(k-1)^2+2f(k-1)+1)+\frac{k-1}{n}(f(k^2)+2f(k)+1)\\ &=f((k-1)^2)+2f(k-1)+1+\frac{k-1}{n-k+1}(2f(k)+1). \end{align*} \]

这样就比较轻松的解决了这个问题，关键在于不能将期望 \(E(k)\) 看做一个整体考虑，而应该写成定义式再做运算。另外就是期望的平方不一定等于平方的期望。

My code

const int N = 1e4 + 5;
int n;
double f[N], f2[N];

int main() {
	#ifndef HRJ
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
	#endif
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i] = f[i - 1] + double(n) / (n - i + 1);
		f2[i] = f2[i - 1] + 2 * f[i - 1] + 1 + double(i - 1) / (n - i + 1) * (2 * f[i] + 1);
	}
	cout << fixed << setprecision(2) << (f[n] + f2[n]) / 2;

    return 0;
}