【笔记】二分答案的两种形式

壹

$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=(a_1,a_2,\dots,a_n)$，要让 $\max\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ 最小或 $\min\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ 最大。

如果直接 DP 考虑让每一个 $a_i$ 都尽量小，是不满足最优子结构的。如果记上 $\max\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ 进行 DP，复杂度会爆炸。

二分答案 $X$，DP 让每一个 $a_i$ 尽量小，但是在 DP 的过程中让不满足 $a_i\le X$ 的状态不进行转移。子结构间互不影响，转移到父结构的子结构都满足 $a_i\le X$ 的限制，DP 正确性就有保证了。

我们刚才讲的是 DP，要 DP 的话转移关系肯定是线性的，树形 DP 或者就最普通的 1D/1D DP 都算。但是像 Nudist Beach 这道题，巧妙地考虑在最优情况下也取不到的点，然后 BFS 扩展删点。

贰

求满足函数 $f(x_1,x_2,\dots,x_n,T)\ge X$ 成立的 $T$ 的最小值。

$T$ 的值域极大，状态记下 $T$ 就没法 DP。如果二分答案 $T$，限制就变成了判断 $f_T(x_1,x_2,\dots,x_n)\ge X$ 是否成立。