逆序数（归并排序和树状数组）

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1019

 

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

 

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。给出一个整数序列，求该序列的逆序数。

Input

第1行：N，N为序列的长度（n <= 50000)
第2 - N + 1行：序列中的元素（0 <= A[i] <= 10^9）

Output

输出逆序数

Input示例

4
2
4
3
1

Output示例

4

题意：中文题诶～

 

思路：

方法1：归并排序～

归并排序过程为，先不断二分直至每组元素数目为一，此时我们可以将每组元素看做已排序状态；然后在回溯过程把这些组两两合并，并在合并过程中排序；

那么我们每一次合并都得到已排序的组，直至合并为一个组，即已排序数组；

那我们如何用上述过程统计逆序对数目呢～这就需要分析一下合并的具体过程啦；

假设我们现在有两个已排序数组a[p, m], a[q, y] 依次比较a[p], a[q]，将其中较小的存入临时数组t中，那么最终得到的t数组就是a[p, y]区间所有元素的已排序状态啦，然后将t数组覆盖a[p, y]数组，那么a[p, y]就是已排序状态了啦～  发现了有木有，如果我们在某一次操作中将右边的元素a[q]存入t中，那么a[q]大于当前左边数组a[p, m]的所有元素，即a[q]与数组a[p, m]中每个元素都能组成一个逆序对，对于a[q]元素我们可以得到(m-p)个逆序对 (数组a[p, m]区间为左闭右开即为区间

[p, m))；对于数组a[p, m], a[q, y]，假设元素gg, jj可以组成逆序对，我们可以将区间[p, y)里面可以组成逆序对的情况分为gg, jj都在 左边区间或者右边区间，gg, jj分别位于两个区间中，不过我们不难发现前两种情况就是合并前的第三种情况，例如对于数组a[p, m] 和a[q, y]我们求出gg, jj分处于两边的逆序对数为ans, 那么在下一次合并过程中，对于a[p', p] , a[p, q]，则ans为gg, jj都位于a[p, q]中的逆序对数； 从这里我们可以发现虽然我们将逆序岁数分三种情况，事实上我们只要累计第三中情况的逆序对数就好啦～

 

代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define MAXN 50010
 3 using namespace std;
 4 
 5 int ans=0;
 6 
 7 void teger_sort(int* a, int* t, int x, int y){
 8     if(y-x>1){  //**递归至单个元素为一组
 9         int m=(y+x)>>1;
10         int p=x, q=m, i=x;
11         teger_sort(a, t, x, m);  //***左递归
12         teger_sort(a, t, m, y);  //***右递归
13         while(p<m||q<y){   //**合并
14             if(q>=y||(p<m&&a[p]<=a[q])){
15                 t[i++]=a[p++];  //**将左边元素复制到临时数组
16             }else{
17                 t[i++]=a[q++]; //**将右边元素复制到临时数组
18                 ans+=m-p; //**累计逆序对的数目
19             }
20         }
21         for(int i=x; i<y; i++){ //**将临时数组里已排序的元素还原到原数组
22             a[i]=t[i];
23         }
24     }
25 }
26 
27 int main(void){
28     int n, a[MAXN], t[MAXN];
29     scanf("%d", &n);
30     for(int i=0; i<n; i++){
31         scanf("%d", &a[i]);
32     }
33     teger_sort(a, t, 0, n);
34     printf("%d\n", ans);
35     return 0;
36 }

 

方法2：树状数组～

首先我们先建立一个数轴，对于输入的数据x，我们给数轴上的x标记1(初始时标记都为0啦～)，数轴上x前面的数都比x小，也就是说x前面的所有标记的数都是不可以与x组成逆序对的数，假设x是第i个输入，用sum(x)表示x以及前面所有标记的和，即sum=x前面i-1个元素中比x小的个数+1(因为x本身不能和自己组成逆序对嘛)，那么i-sum(x)就是x和其前面的元素可以组成的逆序对数咯，累加所有元素和其前面的元素组成的逆序对数就是我们要的答案啦～

对于这里的数轴我们可以直接用数组标记就好了，不过这里的x数据范围是1e9，直接开数组肯定开不下啦，用map会超时，所以我们需要对输入的数据先hash一下～

可是这个思路如果直接暴力的话还是会超时，不过，求sum(x)就是区间求和嘛，区间求和我们可以用树状数组或者线段树嘛，这里树状数组和线段树的效果一样，我们就用代码更简单的树状数组啦；要讲树状数组的话比较麻烦，这里就给出一个本人觉得讲的不错的树状数组博客好了～

http://blog.csdn.net/ljd4305/article/details/10101535

 

代码：

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define MAXN 50010
 3 using namespace std;
 4 
 5 int tree[MAXN], n;
 6 
 7 int lowbit(int x){ //**得到pow(2, k), 其中k为x的二进制末尾0的个数即x二进制最低位1的值
 8     return x&(-x);
 9 }
10 
11 void update(int x, int d){ //**向上更新父节点及根节点～
12     while(x<=n){
13         tree[x]+=d;
14         x+=lowbit(x);
15     }
16 }
17 
18 int sum(int x){ //**向下求和
19     int ans=0;
20     while(x>0){
21         ans+=tree[x];
22         x-=lowbit(x);
23     }
24     return ans;
25 }
26 
27 int main(void){
28     pair<int, int> p[MAXN];
29     int gg[MAXN], ans=0;
30     scanf("%d", &n);
31     for(int i=1; i<=n; i++){  //**hash
32         scanf("%d", &p[i].first);
33         p[i].second=i
34     }
35     sort(p+1, p+n+1);
36     for(int i=1; i<=n; i++){
37         gg[p[i].second]=i;
38     }
39     for(int i=1; i<=n; i++){
40         update(gg[i], 1); //因为x不能和自己组成逆序对，要减去，所以我们要先更新再求和，更新后sum(x)就包括了x了嘛～
41         ans+=i-sum(gg[i]);
42     }
43     printf("%d\n", ans);
44     return 0;
45 }