线段树详解
前言
这是一篇蒟蒻的博客，可能有许多错误或不详细的地方，欢迎大佬们指出。
这篇文章主要参考了这篇博文：http://blog.csdn.net/zearot/article/details/48299459
什么是线段树
线段树，是一种二叉搜索树。它将一段区间划分为若干单位区间，每一个节点都储存着一个区间。它功能强大，支持区间求和，区间最大值，区间修改，单点修改等操作。
线段树的思想和分治思想很相像。
线段树的每一个节点都储存着一段区间[L..R]的信息，其中叶子节点L=R。它的大致思想是：将一段大区间平均地划分成2个小区间，每一个小区间都再平均分成2个更小区间……以此类推，直到每一个区间的L等于R（这样这个区间仅包含一个节点的信息，无法被划分）。通过对这些区间进行修改、查询，来实现对大区间的修改、查询。
这样一来，每一次修改、查询的时间复杂度都只为\(O(\log_2n)\)。
但是，可以用线段树维护的问题必须满足区间加法，否则是不可能将大问题划分成子问题来解决的。
什么是区间加法
一个问题满足区间加法，仅当对于区间[L,R]的问题的答案可以由[L,M]和[M+1,R]的答案合并得到。
经典的区间加法问题有：
- 区间求和（\(\sum_{i=L}^Ra_i=\sum_{i=L}^Ma_i+\sum_{i=M+1}^Ra_i\space(L\leq M<R)\)）
- 区间最大值（\(\max_{i=L}^Ra_i=\max(\max_{i=L}^Ma_i,\max_{i=M+1}^Ra_i)\space(L\leq M<R)\)）
不满足区间加法的问题有：
- 区间的众数
- 区间的最长不下降子序列
线段树的原理及实现
注意：如果我没有特别申明的话，这里的询问全部都是区间求和
线段树主要是把一段大区间平均地划分成两段小区间进行维护，再用小区间的值来更新大区间。这样既能保证正确性，又能使时间保持在log级别（因为这棵线段树是平衡的）。也就是说，一个[L..R]的区间会被划分成[L..(L+R)/2]和[(L+R)/2+1..R]这两个小区间进行维护，直到L=R。
下图就是一棵[1..10]的线段树的分解过程（相同颜色的节点在同一层）
可以发现，这棵线段树的最大深度不超过\([log_2(n-1)]+2\)（其中\([x]\)表示对x进行下取整）
由于作者太菜，不会非递归的线段树，所以这里写的都是效率较低、较为常见的递归线段树。
储存方式
通常用的都是堆式储存法，即编号为k的节点的左儿子编号为\(k*2\)，右儿子编号为\(k*2+1\)，父节点编号为\(k\space div\space2\)，用位运算优化一下，以上的节点编号就变成了\(k<<1,k<<1|1,k>>1\)。其它储存方式请见指针储存和动态开点。
通常，每一个线段树上的节点储存的都是这几个变量：区间左边界，区间右边界，区间的答案（这里为区间元素之和）
下面是线段树的定义：
struct node
{
int l/*区间左边界*/,r/*区间右边界*/,sum/*区间元素之和*/,lazy/*懒惰标记，下文会提到*/;
node(){l=r=sum=lazy=0;}//给每一个元素赋初值
}a[N];//N为总节点数
inline void update(int k)//更新节点k的sum
{
a[k].sum=a[a[k].l].sum+a[a[k].r].sum;
//很显然，一段区间的元素和等于它的子区间的元素和
}
初始化
常见的做法是遍历整棵线段树，给每一个节点赋值，注意要递归到线段树的叶节点才结束。
void build(int k/*当前节点的编号*/,int l/*当前区间的左边界*/,int r/*当前区间的右边界*/)
{
a[k].l=l,a[k].r=r;
if(l==r)//递归到叶节点
{
a[k].sum=number[l];//其中number数组为给定的初值
return;
}
int mid=(l+r)/2;//计算左右子节点的边界
build(k*2,l,mid);//递归到左儿子
build(k*2+1,mid+1,r);//递归到右儿子
update(k);//记得要用左右子区间的值更新该区间的值
}
单点修改
当我们要把下标为k的数字修改（加减乘除、赋值运算等）时，可以直接在根节点往下DFS。如果当前节点的左儿子包含下标为k的数（即对于左儿子区间\([L_{lson}..R_{lson}]\)，\(L_{lson}\leq k\leq R_{rson}\)），那么就走到左儿子，否则走到右儿子（右儿子一定包含下标为k的数，因为根节点一定包含这个数，而从根节点往下走，能到达的点也一定包含这个数），直到L=R。这时就走到了只包含k的那个节点，只需要把这个点修改即可（这个点就相当于线段树中唯一只储存着k的信息的节点）。最后记得在回溯的时候把沿途经过的所有的点的值全部修改一下。
void change(int k/*当前节点的编号*/,int x/*要修改节点的编号*/,int y/*要把编号为x的数字修改成y*/)
{
if(a[k].l==a[k].r){a[k].sum=y;return;}
//如果当前区间只包含一个元素，那么该元素一定就是我们要修改的。
//由于该区间的sum一定等于编号为x的数字，所以直接修改sum就可以了。
int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;//计算下一层子区间的左右边界
if(x<=mid) change(a[k].l,x,y);//递归到左儿子
else change(a[k].r,x,y);//递归到右儿子
update(k);//记得更新点k的值，感谢qq_36228735提出此错误
}
区间修改
其实如果会了单点修改的话，区间修改就不会太难理解了。
区间修改大体可以分为两步：
- 找到区间中全部都是要修改的点的线段树中的区间
- 修改这一段区间的所有点
先来解决第一步：
我们先从根节点出发（根节点一定包含所有的点，包括被修改区间），一直往下走，直到当前区间中的元素全部都是被修改元素。
当左区间包含整个被修改区间时，我们就递归到左区间；
当右区间包含整个被修改区间时，我们就递归到右区间；
否则，情况一定就如下图所示：
怎么办？这种情况似乎有些难了。
不过，通过思考，我们可以发现，被修改区间中的元素间，两两之间都不会产生影响。
所以，我们可以把被修改区间分解成两段，使得其中的一段完全在左区间，另一端完全在右区间。
很明显，直接在mid的位置将该区间切开是最好的。如下图所示：
通过一系列的玄学操作，我们成功地把修改区间分解成一段一段的。但问题来了：我们怎样修改这些区间呢？
最暴力的做法是每一次都像建树一样，遍历区间内的所有节点，一一修改。但是这样的时间复杂度显然\(O(n^2log_2n)\)，比暴力\(O(n^2)\)还多了个log，我要这线段树有何用？
这里就要引入一样新的神奇的东西——懒惰标记！
懒惰标记
标记的含义：本区间已经被更新过了，但是子区间却没有被更新过，被更新的信息是什么（区间求和只用记录有没有被访问过，而区间加减乘除等多种操作的问题则要记录进行的是哪一种操作）
这里再引入两个很重要的东西：相对标记和绝对标记。
相对标记和绝对标记
相对标记指的是可以共存的标记，且打标记的顺序与答案无关，即标记可以叠加。 比如说给一段区间中的所有数字都+a，我们就可以把标记叠加一下，比如上一次打了一个+1的标记，这一次要给这一段区间+2，那么就把+1的标记变成+3。
绝对标记是指不可以共存的标记，每一次都要先把标记下传，再给当前节点打上新的标记。这些标记不能改变次序，否则会出错。 比如说给一段区间的数字重新赋值，或是给一段区间进行多种操作。
有了懒惰标记这种神奇的东西，我们区间修改时就可以偷一下懒，先修改当前节点，然后直接把信息挂在节点上就可以了！
如下面这棵线段树，当我们要修改区间[1..4]，将元素赋值为1时，我们可以先找到所有的整个区间都要被修改的节点，显然是储存区间[1..3]和[4..4]的这两个节点。我们就可以先把[1..3]的sum改为3（\((3-1+1)*1=3\)）,把[4..4]的sum改为1（\((1-1+1)*1=1\)）然后给它们打上值为1的懒惰标记，然后就可以了。
这样一来，我们每一次修改区间时只要找到目标区间就可以了，不用再向下递归到叶节点。
下面是区间+x的代码：
void changeSegment(int k,int l,int r,int x)
//当前到了编号为k的节点，要把[l..r]区间中的所有元素的值+x
{
if(a[k].l==l&&a[k].r==r)//如果找到了全部元素都要被修改的区间
{
a[k].sum+=(r-l+1)*x;
//更新该区间的sum
a[k].lazy+=x;return;
//懒惰标记叠加
}
int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;
if(r<=mid) changeSegment(a[k].l,l,r,x);
//如果被修改区间完全在左区间
else if(l>mid) changeSegment(a[k].r,l,r,x);
//如果被修改区间完全在右区间
else changeSegment(a[k].l,l,mid,x),changeSegment(a[k].r,mid+1,r,x);
//如果都不在，就要把修改区间分解成两块，分别往左右区间递归
update(k);
//记得更新点k的值
}
请注意：某些题目的懒惰标记属于绝对标记（如维护区间平方和），一定要先下传标记，再向下递归。
下传标记
碰到相对标记这种容易欺负的小朋友，我们只用打一下懒惰标记就可以了。
但是，遇到绝对标记，或是下文提到的区间查询，简单地打上懒惰标记就明显GG了。毕竟，懒惰标记只是简单地在节点挂上一个信息而已，遇到复杂的情况可是不行的啊！
于是，懒惰标记的下传操作就诞生了。
顾名思义，下传标记就是把一个节点的懒惰标记传给它的左右儿子，再把该节点的懒惰标记删去。
我们先来回顾一下标记的含义：
标记的含义：本区间已经被更新过了，但是子区间却没有被更新过，被更新的信息是什么
显然，父区间是包含子区间的，也就是对于父区间的标记和子区间是有联系的。在大多数情况下，父区间和子区间的标记是相同的。因此，我们可以由父区间的标记推算出子区间应当是什么标记。
注意：以下所说的问题都是指区间赋值，除非有什么特别的申明。
如果要给一个节点中的所有元素重新赋值为x，那么它的儿子也必定要被赋值成x。所以，我们直接在子节点处修改sum值，再把子节点的标记改变一下就可以了（由于区间赋值要用绝对标记，因此当子节点已经有标记时，要先下传子节点的标记，再下穿该节点的标记。但是区间赋值会覆盖掉子节点的值，因此在这个问题中，直接修改标记就可以了）
代码如下：
void pushdown(int k)//将点k的懒惰标记下传
{
if(a[k].l==a[k].r){a[k].lazy=0;return;}
//如果节点k已经是叶节点了，没有子节点，那么标记就不用下传，直接删除就可以了
a[a[k].l].sum=(a[a[k].l].r-a[a[k].l].l+1)*a[k].lazy;
a[a[k].r].sum=(a[a[k].r].r-a[a[k].r].l+1)*a[k].lazy;
//给k的子节点重新赋值
a[a[k].l].lazy=a[a[k].r].lazy=a[k].lazy;
//下传点k的标记
a[k].lazy=0;//记得清空点k的标记
}
那么区间赋值就很容易解决了。我们直接修改当前节点的sum，再打上标记就可以了。在大多数问题中，我们要先下传当前节点的标记，再打上标记。但由于这个问题的特殊性，我们就不用先下传标记了。
区间查询
上面我们很轻松地解决了修改的问题，于是我们就维护了一个完整的在线线段树了。但是光有维护是没用的，我们还要处理询问的问题。最常见的莫过于区间查询了，如询问区间[l..r]中所有数的和。
这其实和区间修改是类似的。我们也分类讨论：
当查找区间在当前区间的左子区间时，递归到左子区间；
当查找区间在当前区间的右子区间时，递归到右子区间；
否则，这个区间一定是跨越两个子区间的，我们就把它切成2块，分在两个子区间查询。最后把答案合起来处理就可以了（如查询区间和时就把两块区间的和加起来，查询最大值时就返回两块区间的最大值）
最后强调一个细节：记得在查询之前下传标记！！！
下面贴上查询区间和的代码：
int query(int k,int l,int r)
//当前到了编号为k的节点，查询[l..r]的和
{
if(a[k].lazy) pushdown(k);
//如果当前节点被打上了懒惰标记，那么就把这个标记下传，这一句其实也可以放在下一语句的后面
if(a[k].l==l&&a[k].r==r) return a[k].sum;
//如果当前区间就是询问区间，完全重合，那么显然可以直接返回
int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;
if(r<=mid) return query(a[k].l,l,r);
//如果询问区间包含在左子区间中
if(l>mid) return query(a[k].r,l,r);
//如果询问区间包含在右子区间中
return query(a[k].l,l,mid)+query(a[k].r,mid+1,r);
//如果询问区间跨越两个子区间
}
指针储存和动态开点
上面我们用的都是堆式储存法。这种方法能快速地找出当前节点的父节点、子节点，但节点数很多，而无用节点也较多时就没有用了。我们可以用指针储存和动态开点解决这个问题。当然，大佬们也可以用离散化解决问题。
这其实就是用指针额外记录当前节点的子节点（有时可能还要记录父节点），且要用到节点时才新建节点。这样能大大地节省空间。
下面是结构体的定义：
struct node
{
int l/*区间左边界*/,r/*区间右边界*/,sum/*区间元素之和*/,lazy/*懒惰标记，下文会提到*/;
node *lson/*左儿子*/,*rson/*右儿子*/;
//这两个指针初始值为NULL，当儿子指针为NULL时表明它没有值
node(){l=r=sum=lazy=0;lson=rson=NULL;}//给每一个元素赋初值
};
node *root=new node;//根节点
inline void setroot()//根节点初始化
{
root->l=1,root->r=n;
}
inline void update(node *k)//更新节点k的sum
{
k->sum=0;
if(k->lson) k.sum+=k->lson->sum;
if(k->rson) k.sum+=k->rson->sum;
//注意要判断左右子节点是否存在
}
单点修改：
void change(node *k/*当前节点*/,int x/*要修改节点的编号*/,int y/*要把编号为x的数字修改成y*/)
{
if(k->l==k->r){k->sum=y;return;}
//如果当前区间只包含一个元素，那么该元素一定就是我们要修改的。
//由于该区间的sum一定等于编号为x的数字，所以直接修改sum就可以了。
int mid=(k->l+k->r)/2;//计算下一层子区间的左右边界
if(x<=mid)
{
if(!k->lson)//如果左儿子不存在，就新建一个
{
k->lson=new node;
k->lson->l=k->l;
k->lson->r=mid;
}
change(k->lson,x,y);//递归到左儿子
}
else
{
if(!k->rson)//如果右儿子不存在，就新建一个
{
k->rson=new node;
k->rson->l=mid+1;
k->rson->r=k->r;
}
change(k->rson,x,y);//递归到右儿子
}
}
其他操作相应地改一下就可以了，这里留给读者自己思考。
P.S：
提示一下：询问操作并不用新建节点。
其实动态开点不一定要用指针，也可以先开一个节点数组，每次新建节点时给它分配一个下标。不过个人觉得用指针方便一些。
扩展及应用
权值线段树
权值线段树其实就相当于一个桶，它维护了每一个数的出现次数。它可以解决许多问题（废话）。
下面就来看一道我脑补的题目（大佬勿喷）：
给你一个长度为n的数组a，以及m个操作，每一个询问的格式为[x,l,r]，x=1表示查询数组中值在区间[l..r]中的元素的和，x=2表示将第 l 个数加r。每个数的取值范围：\(0\leq a_i\leq 10^6,n\leq 2*10^4\)
这题显然可以用权值线段树做，其中线段树中区间[l..r]维护的是数值\(l\leq a_i\leq r\)的\(a_i\)的个数。由于节点数较多，要用动态开点。然后到了修改操作的时候，我们就把第 l 个数所对应的值单点修改（在权值线段树中将所对应的位置的值减一），再把第 r 个位置的值加一。
这其实就相当于一个桶，很好理解的。
可持久化线段树（主席树）
主席树其实就是给线段树记录了历史版本。
给你一个长度为n的数组a，以及m个询问，每一个询问的格式为[l,r,k]，表示查询区间[l..r]中第k大的数。
碰到这种情况，排序什么的就无能为力了。这就要用到主席树了。
我们可以开n棵权值线段树，第 i 棵表示1~i中每一个数出现的次数（先不要担心空间的问题）。这种方法其实类似于前缀和，询问时把第 r 棵线段树减去第 l-1 棵线段树（对应位置的值相减），再在得出的线段树中查找第k大的数。
假设现在的数列是{2,4,1}，离散化为{2,3,1}。
那么这几棵线段树就会长成这个样子（壮观）：
观察这个图，可以发现有不少信息相同的子树，我们可以把它们合并：
这就是主席树。
思路很简单，如果第 i 棵线段树的某子树和第 i-1 棵的那一个子树相同，那么就不用新建子树了，两棵线段树共用一个子树。在不用记录子树的父节点的情况下，这种方法是可行的。
观察上图，发现每一棵线段树都只有一条从根到底的路径是新建的，其余全部都是由以前的线段树得到的。因此我们可以证明这种方法能极大地优化空间。
但万一要需要修改怎么办？可以用类似于树状数组的方法，这里留给读者思考。
下面给出gmoj.1011 zoo的标程
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100010
struct tree
{
int sum,lson,rson;
tree(){lson=rson=sum=0;}
}node[N*30];
int a[N],id[N],b[N],root[N],s;
bool cmp(int x,int y){return a[x]<a[y];}
void insert(int p,int q,int l,int r,int k)
{
node[p].sum=node[q].sum+1;
if(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(k<=mid)
{
node[p].lson=++s;
if(node[q].rson) node[p].rson=node[q].rson;
else node[q].rson=++s;
insert(node[p].lson,node[q].lson,l,mid,k);
}
else
{
if(node[q].lson) node[p].lson=node[q].lson;
else node[q].lson=++s;
node[p].rson=++s;
insert(node[p].rson,node[q].rson,mid+1,r,k);
}
}
}
int find(int p,int q,int l,int r,int k)
{
if(l==r) return l;
int mid=(l+r)/2;
if(node[node[p].lson].sum-node[node[q].lson].sum>=k)
return find(node[p].lson,node[q].lson,l,mid,k);
return find(node[p].rson,node[q].rson,mid+1,r,
k-node[node[p].lson].sum+node[node[q].lson].sum);
}
int main()
{
int n,m,i,j,k,max=1;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),id[i]=i,root[i]=++s;
sort(id+1,id+n+1,cmp);
for(i=2;i<=n;i++)
{
if(a[id[i]]!=a[id[i-1]]) b[++max]=a[id[i]];
a[id[i]]=max;
}
b[1]=a[id[1]],a[id[1]]=1;
root[0]=0;
for(i=1;i<=n;i++) insert(root[i],root[i-1],1,max,a[i]);
while(m--)
{
scanf("%d%d%d",&i,&j,&k);
printf("%d\n",b[find(root[j],root[i-1],1,max,k)]);
}
return 0;
}
非递归式线段树
非递归式线段树（ZKW线段树，张昆玮线段树），是清华大学的张昆玮在ppt《统计的力量》中提出的。
这种线段树最大的特点就是很重口味不用递归实现，因此常熟小、且码量不长，便于调试和卡常数。
它之所以与普通线段树不同，主要是因为它是一颗自底到根的线段树。
总的来说，它相对于线段树而言，主要有以下优缺点：
- 常数（时间）更小
- 代码长度更短
- 调试复杂度更低
- 空间更小
- 学习难度更低
- 解决复杂问题的难度更低（如区间修改）
